[論文レビュー] Boundedness of Calder\'on-Zygmund Operators on Non-homogeneous Metric Measure Spaces

Tuomas Hytönen, Suile Liu+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2010

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 12被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、上界倍加および幾何学的倍加条件を満たす非同次な距離測度空間上におけるCalderón-Zygmund作用素の$L^p(\mu)$有界性の同値性を確立する。$L^2(\mu)$における有界性が、すべての$p \in (1, \infty)$における$L^p(\mu)$への有界性および$L^1(\mu)$から弱$L^1(\mu)$への有界性を示すことを証明し、古典的結果をより広いクラスの空間へと拡張する。最大作用素に対しても、$L^p(\mu)$上で有界であり、複素Borel測度の空間から弱$L^1(\mu)$へ有界であることが示された。

ABSTRACT

Let $({\mathcal X}, d, \mu)$ be a separable metric measure space satisfying the known upper doubling condition, the geometrical doubling condition and the non-atomic condition that $\mu(\{x\})=0$ for all $x\in{\mathcal X}$. In this paper, we show that the boundedness of a Calder\'on-Zygmund operator $T$ on $L^2(\mu)$ is equivalent to that of $T$ on $L^p(\mu)$ for some $p\in (1, \infty)$, and that of $T$ from $L^1(\mu)$ to $L^{1,\,\infty}(\mu).$ As an application, we prove that if $T$ is a Calder\'on-Zygmund operator bounded on $L^2(\mu)$, then its maximal operator is bounded on $L^p(\mu)$ for all $p\in (1, \infty)$ and from the space of all complex-valued Borel measures on ${\mathcal X}$ to $L^{1,\,\infty}(\mu)$. All these results generalize the corresponding results of Nazarov et al. on metric spaces with measures satisfying the so-called polynomial growth condition.

研究の動機と目的

• 非同次な距離測度空間に古典的Calderón-Zygmund理論を一般化すること。特に、空間が必ずしも倍加でない場合を含む。
• $L^2(\mu)$における有効性と、$p \in (1, \infty)$における$L^p(\mu)$における有効性、および弱型$(1,1)$有効性の間の同値性を確立すること。
• Calderón-Zygmund作用素の最大作用素が、$L^2(\mu)$で有界である場合、すべての$p \in (1, \infty)$における$L^p(\mu)$上および$M(X)$から$L^{1,\infty}(\mu)$への有界性を示すこと。

提案手法

• 上界倍加および幾何学的倍加条件を満たす新しい距離測度空間のクラスを導入し、$\lambda(x,r) \leq C_\lambda \lambda(x,r/2)$を満たす支配関数$\lambda$を用いる。
• 独立同一分布に従うランダム点を用いた確率的アプローチにより、最大関数を制御するための基本的測度$\nu_N = \|\nu\|_N \sum_{i=1}^N \delta_{x_i}$を導入する。
• チェビシェフの不等式と分散の推定を用いて、切り捨てられた最大作用素$T_R^\sharp \nu$の尾部挙動を制御し、倍加条件における対数的成長を活用する。
• 確率論的および最大関数の技法を用いて、最大作用素の弱型$(1,1)$推定$\mu(\{x : T^\sharp \nu(x) > t\}) \lesssim \|\nu\|/t$を示すことで、弱型$(1,1)$推定を確立する。
• ジョン・ニレングラフの不等式および非同次設定に適応されたdyadic分解技法を用いて、BMOノルムを制御する。
• T(b)定理の枠組みとdyadicパラプロダクト分解を組み合わせ、問題をdyadic立方体上のテスト条件に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非同次空間において、Calderón-Zygmund作用素の$L^2(\mu)$有界性は、ある$p \in (1, \infty)$における$L^p(\mu)$有界性と同値か？
• RQ2 $L^2(\mu)$有界性は、この設定において$L^1(\mu)$から$L^{1,\infty}(\mu)$への弱型$(1,1)$有界性を示すか？
• RQ3 Calderón-Zygmund作用素の最大作用素は、すべての$p \in (1, \infty)$において$L^p(\mu)$上で有界であり、$M(X)$から$L^{1,\infty}(\mu)$へ有界か？
• RQ4 Nazarovたちによる多項式成長測度に関する古典的結果は、幾何学的倍加を満たす上界倍加空間へ一般化可能か？

主な発見

• 上界倍加および幾何学的倍加条件を満たす距離測度空間において、Calderón-Zygmund作用素$T$の$L^2(\mu)$有界性は、任意の$p \in (1, \infty)$における$L^p(\mu)$有界性および$L^1(\mu)$から弱$L^1(\mu)$への有界性と同値である。
• 作用素$T$が$L^2(\mu)$で有界である限り、最大作用素$T^\sharp$はすべての$p \in (1, \infty)$において$L^p(\mu)$上で有界であり、複素Borel測度の空間$M(X)$から$L^{1,\infty}(\mu)$へも有界である。
• すべての有限複素Borel測度$\nu$に対して、弱型$(1,1)$推定$\mu(\{x : T^\sharp \nu(x) > t\}) \lesssim \|\nu\|/t$が成り立ち、定数は$\nu$および$t > 0$に依存しない。
• 証明は、ランダムな基本的測度$\nu_N$を用いた確率的手法に依拠しており、$T_R \nu_N(x)$の分散が$\|\nu\|^2 / N \cdot C_\lambda^{2(1+\log_2(M/R))} / \lambda(x_0,M)^2$で抑えられることを示し、チェビシェフ型の尾部推定が可能になる。
• この結果は、Nazarovたちによる多項式成長測度に関する結果を、上界倍加かつ幾何学的倍加を満たす空間のより広いクラスへ一般化する。
• $L^2(\mu)$有界性の仮定が、ある$q \in (1, \infty)$における$L^q(\mu)$有界性に置き換えられても、$p \in (1,\infty)$における$L^p$有界性と弱型$(1,1)$有界性の同値性は保たれる。