[論文レビュー] Boundedness of solutions in impulsive Duffing equations with polynomial potentials and $C^{1}$ time dependent coefficients

Yanmin Niu, Xiong Li|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2017

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、多項式ポテンシャルおよび $C^1$ 時間依存係数を有するインパルス的Duffing方程式が1周期のインパルス効果を受ける場合、解の有界性を確立する。変換されたハミルトニアン系に大ねじれ定理を適用することで、解を包囲する円形に微分同相な大きな不変曲線の存在を証明し、$t_2 - t_1 \neq \frac{1}{2}$ のとき、解の有界性と準周期性を保証する。この結果は、インパルスが存在する中で、より滑らかでない係数に対しても、従来の有界性定理を拡張するものである。

ABSTRACT

In this paper, we are concerned with the impulsive Duffing equation $$ x''+x^{2n+1}+\sum_{i=0}^{2n}x^{i}p_{i}(t)=0,\ t eq t_{j}, $$ with impulsive effects $x(t_{j}+)=x(t_{j}-),\ x'(t_{j}+)=-x'(t_{j}-),\ j=\pm1,\pm2,\cdots$, where the time dependent coefficients $p_i(t)\in C^1(\mathbb{S}^1)\ (n+1\leq i\leq 2n)$ and $p_i(t)\in C^0(\mathbb{S}^1)\ (0\leq i\leq n)$ with $\mathbb{S}^1=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$. If impulsive times are 1-periodic and $t_{2}-t_{1} eq\frac{1}{2}$ for $0< t_{1}

研究の動機と目的

• 多項式非線形性および時間依存係数を有するインパルス的Duffing方程式における解の有界性を調査すること。
• 特に高次項に対してより弱い滑らかさの仮定の下で、従来の有界性結果を拡張すること。
• インパルス効果が解のダイナミクスに与える影響、特にインパルスが1周期的かつ非対称的 ($t_2 - t_1 \neq \frac{1}{2}$) である場合を分析すること。
• 位相空間における不変曲線を用いて、準周期的解の存在を確立すること。

提案手法

• シンプレクティックな変数変換を用いて、インパルス的Duffing方程式をハミルトニアン系に変換する。
• 時間1回のフロー写像に、最近Li, Liu, and Sunによって確立された大ねじれ定理を適用し、無限にまで延びる円形に微分同相な大きな不変曲線を構成する。
• インパルス時刻の対称性および周期性 ($t_{j+2} = t_j + 1$) を用いて、ねじれ写像が適切に定義され、必要なねじれ条件を満たすことを保証する。
• 不変曲線が無限にまで延び、原点を囲むことにより、すべての解がその内部に閉じ込められることを証明する。
• シェル関数 $\Psi(\omega t, t)$ が周波数 $(1, \omega)$ で準周期的であることを示すことにより、解の準周期性を確立する。
• 写像 $P^m$ にPoincaré-Birkhoffの不動点定理を適用し、任意の最小周期 $q$ の周期的解の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 係数 $p_i(t)$ がどのような条件下で、インパルス的Duffing方程式が有界解のみを許容するか？
• RQ2 1周期のインパルス時刻と非対称な間隔 ($t_2 - t_1 \neq \frac{1}{2}$) を有するインパルス効果が、解の有界性にどのように影響するか？
• RQ3 $C^1$-滑らかさを有する高次係数および連続な低次係数を有するインパルス的Duffing方程式において、準周期的解を保証できるか？
• RQ4 係数の滑らかさが、インパルス系における解の有界性にどの程度影響を及えるか？

主な発見

• 1周期のインパルス効果を受ける中で、$p_i(t) \in C^1(\mathbb{S}^1)$ が $n+1 \leq i \leq 2n$ に対して成り立ち、$p_i(t) \in C^0(\mathbb{S}^1)$ が $0 \leq i \leq n$ に対して成り立つとき、$t_2 - t_1 \neq \frac{1}{2}$ の下で、インパルス的Duffing方程式のすべての解が有界である。
• 無限にまで延びる円形に微分同相な大きな不変曲線が位相空間に存在し、すべての解をその内部に閉じ込める。
• これらの不変曲線上に存在する解は、インパルスによって生じる区分的連続性にもかかわらず、周波数 $(1, \omega)$ で準周期的である。
• フローの時間1写像はねじれ写像構造を有し、大ねじれ定理の適用が可能となり、有界性の証明が可能になる。
• 任意の整数 $q \geq 1$ に対して、最小周期 $q$ の周期的解が存在し、$P^m$ におけるPoincaré-Birkhoff定理により確立される。
• 本結果は、有界性が、従来の要請よりも弱い滑らかさ条件のもとでも、インパルス的摂動が存在する中でも保持されることを示している。