[論文レビュー] Bounding extensions for finite groups and Frobenius kernels

Christopher P. Bendel, Daniel K. Nakano+4 more|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、代数的群 $G$ の厳密な自己準同型 $\sigma$ による有限型 Lie 群 $G(\sigma)$ 及びその Frobenius 核 $G_\sigma$ のコホモロジーおよびカルタン不変量について、特徴量に依存しない一様な上限を確立する。上限は根系 $\Phi$ と $\sigma$ の高さにのみ依存し、これらの群に関して Hiss が提起した問いに強い肯定的解答を与える。

ABSTRACT

Let G be a simple, simply connected algebraic group defined over an algebraically closed field k of positive characteristic p. Let σ:G->G be a strict endomorphism (i. e., the subgroup G(σ) of σ-fixed points is finite). Also, let G_σ be the scheme-theoretic kernel of σ, an infinitesimal subgroup of G. This paper shows that the degree m cohomology H^m(G(σ),L) of any irreducible kG(σ)-module L is bounded by a constant depending on the root system Φ of G and the integer m. A similar result holds for the degree m cohomology of G_σ. These bounds are actually established for the degree m extension groups Ext^m_{G(σ)}(L,L') between irreducible kG(σ)-modules L and L', with again a similar result holding for G_σ. In these Ext^m results, of interest in their own right, the bounds depend also on L, or, more precisely, on length of the p-adic expansion of the highest weight associated to L. All bounds are, nevertheless, independent of the characteristic p. These results extend earlier work of Parshall and Scott for rational representations of algebraic groups G. We also show that one can find bounds independent of the prime for the Cartan invariants of G(σ) and G_σ, and even for the lengths of the underlying PIMs. These bounds, which depend only on the root system of G and the "height" of σ, provide in a strong way an affirmative answer to a question of Hiss, for the special case of finite groups G(σ) of Lie type in the defining characteristic.

研究の動機と目的

• 有限型 Lie 群 $G(\sigma)$ の可約でない $kG(\sigma)$-加群 $L$ に対する $m$-次コホモロジー $\operatorname{H}^m(G(\sigma), L)$ に対して、特徴量に依存しない一様な上限を確立すること。
• Parshall と Scott の有理的表現に関する先行結果を、定義的特徴量における有限型 Lie 群の設定に拡張すること。
• $G(\sigma)$ 及び $G_\sigma$ のカルタン不変量と PIM の長さが、素数 $p$ に依存せずに一様に有界であることを証明すること。
• Hiss が提起した、有限型 Lie 群におけるカルタン不変量の一様上限に関する問いの特殊な場合を解決すること。

提案手法

• 代数群 $G$ の厳密な自己準同型 $\sigma$ を用いて、有限群 $G(\sigma)$ 及び無限小核 $G_\sigma$ を定義すること。
• $G_r$-加群およびシュタイナート加群の理論を応用し、射影被覆および組成因子を分析すること。
• テンソル積 $L(\mu_0) \otimes L(\mu_1)^{(\sigma)}$ の $G$-組成因子の構造を活用して、$G(\sigma)$-組成因子を制御すること。
• $p^r$-制限を繰り返し適用することで重みを段階的に簡約し、PIM 内の $G(\sigma)$-組成因子の数を制御すること。
• Lemma 4.1.1 を用いて、$\mu_1 <_Q 2\rho$ のとき、$L(\mu_0) \otimes L(\mu_1)$ の $G$-組成因子の数が $p$ に依存しないことを示すこと。
• $G_r$-射影的加群を $G(\sigma)$ に制限することにより、$[U_\sigma(\lambda) : L(\mu)|_{G(\sigma)}]$ の上限を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限型 Lie 群 $G(\sigma)$ の可約でない加群の $m$-次コホモロジーは、素数 $p$ に依存せずに有界に抑えられるか？
• RQ2 固定された根系と自己準同型の高さに対して、$G(\sigma)$ 及び $G_\sigma$ のカルタン不変量はすべての素数 $p$ に対して一様に有界か？
• RQ3 $G(\sigma)$ の任意の射影的不分解加群（PIM）の長さは、素数 $p$ に依存せずに有界に抑えられるか？
• RQ4 $G_r$-射影的加群の $G$-組成因子から生じる $G(\sigma)$-組成因子の数は、根系と $\sigma$ の高さにのみ依存するか？

主な発見

• 任意の可約でない $kG(\sigma)$-加群 $L$ に対する $m$-次コホモロジー $\operatorname{H}^m(G(\sigma), L)$ は、根系 $\Phi$ と $m$ のみに依存する定数によって有界であり、$p$ に依存しない。
• 可約でない $kG(\sigma)$-加群 $L$ と $L'$ 間の $m$-次拡張群 $\operatorname{Ext}^m_{G(\sigma)}(L, L')$ は、$\Phi$、$m$、および $L$ の最高重量の $p$-進長さにのみ依存する定数によって有界であり、依然として $p$ に依存しない。
• $G(\sigma)$ 及び $G_\sigma$ のカルタン不変量は、すべての素数 $p$ に対して一様に有界であり、その上限は根系 $\Phi$ と $\sigma$ の高さ $r$ のみに依存する。
• $G(\sigma)$ の任意の射影的不分解加群（PIM）の組成因子長は、$p$ に依存しない定数 $k'(\Phi, r)$ によって有界である。
• 1 つの $G$-組成因子から生じる $G(\sigma)$-組成因子の数は $f(\Phi, r)^{2(h-1)}$ によって有界であり、これにより PIM の長さに対する総体的な上限が得られる。
• これらの結果は、定義的特徴量におけるカルタン不変量の均一な上限に関する Hiss の問いの特殊な場合を肯定的に解決する。