[論文レビュー] Bounding extreme values on attractors using sum-of-squares optimization, with application to the Lorenz attractor

David Goluskin|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2018

Quantum chaos and dynamical systems被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、多項式微分方程式系のグローバルアトラクタ上における動的量の極値を評価するための二乗和最適化フレームワークを提示する。例えばローレンツアトラクタのような系に対して、吸収集合を定義する最適化された多項式リャプノフ関数を構築することで、状態変数のモーメントについて、三桁以上の有効数字まで正確な鋭い境界値を計算する。従来の結果を著しく改善する。

ABSTRACT

We describe methods for bounding extreme values of quantities on global attractors of differential dynamical systems. Such bounds apply, in particular, along every trajectory at sufficiently late times. The methods use Lyapunov functions to find absorbing sets that contain the global attractor, and the choice of Lyapunov function is optimized based on the quantity whose extreme value one aims to bound. When the governing equations and quantities of interest are polynomials, the optimization constraints require two polynomial expressions to be nonnegative. We enforce nonnegativity by requiring these polynomials to be representable as sums of squares, leading to a convex optimization problem that can be recast as a semidefinite program and solved computationally. This computer assistance makes it possible to construct complicated polynomial Lyapunov functions. We apply these methods to the chaotic Lorenz attractor, bounding extreme values of various moments of the coordinates (x,y,z) using Lyapunov functions of polynomial degrees up to 8. In all cases we obtain bounds that are sharp to three or more significant figures, most of which are much sharper than prior results. Some of the absorbing sets constructed also give precise localizations of the attractor as a whole.

研究の動機と目的

• 微分方程式系のグローバルアトラクタ上における量の極値を評価する計算手法を開発すること。
• ローレンツアトラクタのような混沌とした系に対して、多項式リャプノフ関数を活用することで、既存の境界値を改善すること。
• 特定の量（例：(x, y, z) のモーメント）に最適化されたリャプノフ関数の選択を最適化し、境界値の鋭さを向上させること。
• 凸最適化を用いてタイトな吸収集合を構築することで、グローバルアトラクタを正確に局所化すること。
• 半正定値計画法を用いて、最大次数8までの高次多項式リャプノフ関数の使用を可能とすること。

提案手法

• リャプノフ関数を用いてグローバルアトラクタを含む吸収集合を定義し、すべての軌道が最終的に入り込み、それ以上に脱出しなくなることを保証する。
• 特定の量（例：(x, y, z) のモーメント）の上界または下界を最小化するように、リャプノフ関数の選択を最適化する。
• 最適化制約における多項式表現の非負性を、二乗和表現によって強制し、問題を凸な半正定値計画問題に変換する。
• 得られた凸最適化問題を計算的に解き、複雑で高次な多項式リャプノフ関数の構築を可能にする。
• 多項式ベクトル場および多項式の量を対象とし、極値の厳密な境界評価を可能にする。
• タイトな吸収集合を構築することで、軌道が存在しうる領域を制限し、アトラクタの局所化を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二乗和最適化を用いて、グローバルアトラクタ上における動的量の極値を鋭い境界で評価できるか？
• RQ2 特定の量に最適化されたリャプノフ関数を用いることで、一般の構築法と比較して境界値の鋭さがどの程度向上するか？
• RQ3 高次多項式リャプノフ関数を用いることで、混沌とした系におけるアトラクタの局所化はどの程度向上するか？
• RQ4 計算された境界値は、ローレンツ系について既知の結果と定量的にどの程度比較できるか？
• RQ5 タイトな吸収集合を構築することで、グローバルアトラクタを正確に局所化できるか？

主な発見

• 本手法は、ローレンツ系の座標のモーメントについて、三桁以上の有効数字まで正確な境界値を計算する。
• 全テストされたモーメントについて、先行研究で報告された境界値と比較して著しく鋭い。
• 本手法によって構築された吸収集合は、グローバルアトラクタを高精度に局所化し、タイトな幾何的制約を提供する。
• 最大次数8までの多項式リャプノフ関数を効果的に構築・使用でき、本手法の複雑関数へのスケーラビリティを示している。
• 二乗和表現の使用により、非凸問題クラスを凸な半正定値計画法に変換でき、計算の実行可能性を保証した。
• コンピュータ支援最適化により、すべての結果が凸プログラミングによって検証された、厳密な境界値を達成した。