[論文レビュー] Bounding the Clique-Width of $H$-free Chordal Graphs

Andreas Brandstädt, Konrad K. Dabrowski+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2015

Advanced Graph Theory Research被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、すべての $H$-free な弦的グラフのうち、2つのグラフを除いて、そのクラスのクライク幅が有界であるかの完全な分類を提供している。4つの新しいクラスが同定された：ボウル自由な弦的グラフ（クライク幅 ≤ 3）、共コチェア自由な弦的グラフ（クライク幅 ≤ 4）、および構造的解析による他の2つのクラス。結果は、既知の手法と新規手法を組み合わせることで得られており、既知の有界クライク幅クラスへの還元や、禁止部分グラフの構造的分解が含まれる。

ABSTRACT

A graph is $H$-free if it has no induced subgraph isomorphic to $H$. Brandstädt, Engelfriet, Le and Lozin proved that the class of chordal graphs with independence number at most 3 has unbounded clique-width. Brandstädt, Le and Mosca erroneously claimed that the gem and the co-gem are the only two 1-vertex $P_4$-extensions $H$ for which the class of $H$-free chordal graphs has bounded clique-width. In fact we prove that bull-free chordal and co-chair-free chordal graphs have clique-width at most 3 and 4, respectively. In particular, we find four new classes of $H$-free chordal graphs of bounded clique-width. Our main result, obtained by combining new and known results, provides a classification of all but two stubborn cases, that is, with two potential exceptions we determine all graphs $H$ for which the class of $H$-free chordal graphs has bounded clique-width. We illustrate the usefulness of this classification for classifying other types of graph classes by proving that the class of $(2P_1+P_3,K_4)$-free graphs has bounded clique-width via a reduction to $K_4$-free chordal graphs. Finally, we give a complete classification of the (un)boundedness of clique-width of $H$-free weakly chordal graphs.

研究の動機と目的

• $H$-free な弦的グラフのクラスが有界クライク幅を持つようなすべてのグラフ $H$ を特定し、2つの未解決事例を除いて分類を完了すること。
• 以前の誤った主張（$H$-free な弦的グラフにおいて、1-頂点 $P_4$-拡張で有界クライク幅を持つのは、ジェムとコジェムの2つだけである）を是正すること。
• 複雑なグラフクラスを、既に知られている有界クライク幅を持つ単純なクラスに還元することで、クライク幅の有界性に関する理解を拡張すること。
• 弦的グラフへの還元を通じて、$(2P_1 + P_3, K_4)$-free グラフなどの他のグラフクラスの分類の基盤を提供すること。
• クライク幅の有界性と計算複雑性の関係、特にグラフ同型性およびNP完全問題との関係を調査すること。

提案手法

• 著者たちは、禁止部分グラフの構造的グラフ理論的分析を用いて、$H$-free な弦的グラフのクライク幅特性に基づき分類している。
• $K_4$-free な弦的グラフなど、特定のグラフクラスにおけるクライク幅の有界性に関する既知の結果を適用し、有界性の結果を移転するための還元を用いている。
• 鍵となる技術として、特定の $H$-free な弦的グラフ（例：ボウル自由、共コチェア自由）が有界クライク幅を持つことを示すために、明示的な $c$-表現の構成や分解定理の使用を行っている。
• グラフのペア間の同値関係（例：補グラフと置換）を活用して、$(H_1, H_2)$-free グラフの分類における未解決事例の数を削減している。
• クライク幅と木幅に関する先行研究の結果と、新規の構造的補題を組み合わせることで、特定の $H$-free 部分クラスにおけるクライク幅の上限を確立している。
• 有界クライク幅はMSO定義可能な問題に対して多項式時間解法を意味することを用いて、分類の重要性を裏付ける支援を行っている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのグラフ $H$ に対して $H$-free な弦的グラフが有界クライク幅を持つのか、そしてそれが完全に分類可能か。
• RQ2 以前の主張（1-頂点 $P_4$-拡張で有界クライク幅を持つのはジェムとコジェムの2つだけである）がなぜ誤りであったのか、正しい例外は何か。
• RQ3 $(2P_1 + P_3, K_4)$-free グラフのクラスが、$K_4$-free な弦的グラフへの還元によって有界クライク幅を持つことが示せるか。
• RQ4 $H$-free な弦的グラフにおけるクライク幅の有界性と、そのクラスにおけるグラフ同型性の複雑性との関係は何か。
• RQ5 ハミルトン閉路問題が多項式時間で解けるような、新たに同定された4つの $H$-free な弦的グラフクラスを拡張するより大きなグラフクラスは存在するか。

主な発見

• ボウル自由な弦的グラフのクラスのクライク幅は3以下であり、以前の有界ケースに関する仮定を是正した。
• 共コチェア自由な弦的グラフのクラスのクライク幅は4以下であり、新たな有界クライク幅クラスを確立した。
• 4つの新しい $H$-free な弦的グラフクラスが有界クライク幅を持つことが同定された：$H \in \{\overline{K_{1,3}+2P_1}, P_1 + \overline{P_1 + P_3}, P_1 + \overline{2P_1 + P_2}, \overline{S_{1,1,2}}\}$。
• $(2P_1 + P_3, K_4)$-free グラフのクラスは有界クライク幅を持つことが示され、$K_4$-free な弦的グラフへの還元によって証明された。
• $H$-free な弦的グラフの有界クライク幅の分類は、2つの未解決事例を除いて完全に完了しており、$(H_1, H_2)$-free グラフには13の未解決事例が残っている。
• $H$-free 完全グラフへの制限は、弦的グラフで既に同定されたクラスを超えて、有界クライク幅を持つクラスを追加で得ない。