[論文レビュー] Bounding the equivariant Betti numbers and computing the generalized Euler-Poincaré characteristic of symmetric semi-algebraic sets.

Saugata Basu, Cordian Riener|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2013

Polynomial and algebraic computation参考文献 41被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、実閉体における対称な半代数的集合の等変ベッチ数に対する多項式時間で計算可能な上界を確立する。s 個の次数がd未満の対称多項式によって定義される半代数的集合について、有理数係数における Sk-等変ベッチ数の和は (skd)^O(d) で抑えられる。これにより、このような集合の一般化されたオイラー＝ポワンカレ特性の最初の多項式時間アルゴリズムが得られ、非対称の場合の単一指数関数的複雑性とは対照的である。

ABSTRACT

Let R be a real closed field. The problem of obtaining tight bounds on the Betti numbers of semi-algebraic subsets of R k in terms of the number and degrees of the defining polynomials has been an important problem in real algebraic geometry with the first results due to Oleĭnik and Petrovskiĭ, Thom and Milnor. These bounds are all exponential in the number of variables k. Motivated by several applications in real algebraic geometry, as well as in theoretical computer science, where such bounds have found applications, we consider in this paper the problem of bounding the equivariant Betti numbers of symmetric algebraic and semialgebraic subsets of R k. We obtain several asymptotically tight upper bounds. In particular, we prove that if S ⊂ R k is a semi-algebraic subset defined by a finite set of s symmetric polynomials of degree at most d, then the sum of the Sk-equivariant Betti numbers of S with coefficients in Q is bounded by (skd) O(d). Unlike the classical bounds on the ordinary Betti numbers of real algebraic varieties and semi-algebraic sets, the above bound is polynomial in k when the degrees of the defining polynomials are bounded by a constant. As an application we improve the best known bound on the ordinary Betti numbers of the projection of a compact semi-algebraic set improving for any fixed degree the best previously known bound for this problem due to Gabrielov, Vorobjov and Zell. As another application of our methods we obtain polynomial time (for fixed degrees) algorithms for computing the generalized Euler-Poincaré characteristic of semi-algebraic sets defined by symmetric polynomials. This is in contrast to the best complexity of the known algorithms for the same problem in the nonsymmetric situation, which is singly exponential. This singly exponential complexity for the latter problem is unlikely to be improved because of hardness result (#P-hardness) coming from discrete complexity theory.

研究の動機と目的

• 実代数幾何における半代数的集合のベッチ数を界にする長年の問題に取り組むこと、特に対称的設定において。
• 群作用を用いた対称性の利用によって、古典的な境界における変数の数kに関する指数的依存を克服すること。
• 対称な半代数的集合に対して、特に一般化されたオイラー＝ポワンカレ特性というトポロジカル不変量を効率的に計算するアルゴリズムを開発すること。
• 定義多項式の次数が有界である場合、これらの不変量が多項式時間で計算可能であることを確立すること。
• 対称構造を用いて、コンパクトな半代数的集合の射影の通常のベッチ数に関する既存の境界を改善すること。

提案手法

• R^k 上での対称群 Sk の作用を用いて、有理数係数における等変ベッチ数を定義・分析する。
• 等変代数的トポロジーと表現論の技術を適用し、対称な半代数的集合の等変ベッチ数の和を界する。
• 対称多項式が定義集合の複雑さを低下させることを活用し、指数部にkではなくsとdに依存する形にすること。
• フィルトレーションとスペクトル系列の議論を対称な半代数的集合に適応し、ベッチ数の成長を制御する。
• 一般化されたオイラー＝ポワンカレ特性の計算問題を、Sk による不変性を活かして軌道空間上での計算に還元する。
• 軌道数および軌道型の数に関する境界を適用し、固定された次数に対して多項式時間アルゴリズムを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称な半代数的集合の等変ベッチ数は、古典的境界を上回る tighter な境界が得られるか？
• RQ2 定義多項式に対称性がある場合、一般化されたオイラー＝ポワンカレ特性の計算に多項式時間アルゴリズムが可能か？
• RQ3 新しく得られた等変ベッチ数の境界は、コンパクトな半代数的集合の射影の通常のベッチ数に関する既存の境界を改善できるか？
• RQ4 対称な半代数的集合に対するトポロジカル不変量の計算の複雑性は、一般の場合と比べて著しく低いか？
• RQ5 等変ベッチ数の境界は、対称多項式の数sおよびその次数dにどのように依存するか？

主な発見

• R^k に含まれる、s 個の次数がd未満の対称多項式によって定義される半代数的集合 S の、Sk-等変ベッチ数の和は (skd)^O(d) で抑えられる。
• この境界は、d が有界であればkに関して多項式的であり、古典的境界のkに関する指数的依存とは対照的である。
• 固定されたdに対して、対称な半代数的集合の一般化されたオイラー＝ポワンカレ特性は多項式時間で計算可能である。
• コンパクトな半代数的集合の射影の通常のベッチ数に対する境界は、固定された次数において改善され、ガブリエルーフ、ボロビョフ、ゼルの先行結果を上回る。
• アルゴリズムの改善は、対称構造による複雑さの低減に起因し、非対称の場合に見られる#P-ハード性を回避している。
• これらの結果は、定義多項式における対称性が、実代数幾何におけるトポロジカル不変量の複雑さの枠組みを根本的に変えることを示している。