[論文レビュー] Bounding the Estimation Error of Sampling-based Shapley Value Approximation With/Without Stratifying.

Sasan Maleki, The Anh Han+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2013

Game Theory and Voting Systems被引用数 24

ひとこと要約

この論文は、与えられた分散またはマージナル寄与の範囲が既知である場合、ストラティファイドサンプリングを用いる・しないにかかわらず、サンプリングに基づくシャープレー値近似の推定誤差に対する非漸近的バウンドを提供する。マージナル寄与の範囲がシャープレー値に対して著しく大きい場合、誤差バウンドを O(r/√m) から O(√r/√m) に改善し、実用的応用におけるよりきめの細かい有限標本保証を提供する。

ABSTRACT

The Shapley value is arguably the most central normative solution concept in cooperative game theory. It specifies a unique way in which the reward from cooperation can be fairly divided among players. While it has a wide range of real world applications, its use is in many cases hampered by the hardness of its computation. A number of researchers have tackled this problem by (1) focusing on classes of games where the Shapley value can be computed efficiently, or (2) proposing representation formalisms that facilitate such efficient computation, or (3) approximating the Shapley value in certain classes of games. However, given the classical extit{characteristic function} representation, the only attempt to approximate the Shapley value for the general class of games is due to Castro extit{et al.} \cite{castro}. While this algorithm provides a bound on the approximation error, this bound is extit{asymptotic}, meaning that it only holds when the number of samples increases to infinity. On the other hand, when a finite number of samples is drawn, an unquantifiable error is introduced, meaning that the bound no longer holds. With this in mind, we provide non-asymptotic bounds on the estimation error for two cases: where (1) the extit{variance}, and (2) the extit{range}, of the players' marginal contributions is known. Furthermore, for the second case, we show that when the range is significantly large relative to the Shapley value, the bound can be improved (from $O(r,\sqrt{ icefrac{1}{m}})$ to $O(\sqrt{r},\sqrt{ icefrac{1}{m}})$). Finally, we propose, and demonstrate the effectiveness of, using stratified sampling to improve the bounds.

研究の動機と目的

• 既存のサンプリングに基づくシャープレー値近似手法における有限標本誤差バウンドの欠如に対処する。
• マージナル寄与の分散または範囲が既知である場合の一般型の協力ゲームにおける非漸近的推定誤差バウンドを提供する。
• マージナル寄与の範囲がシャープレー値に対して著しく大きい場合に誤差バウンドを改善する。
• ストラティファイドサンプリングがシャープレー値近似の誤差バウンドのタイトネスを高める有効性を調査する。

提案手法

• マージナル寄与の分散が既知であると仮定し、有限のサンプル数を用いたシャープレー値の推定誤差に対する非漸近的上界を導出する。
• 範囲に基づく代替バウンドを提示し、範囲がシャープレー値に対して著しく大きい場合によりタイトになる。
• 高範囲条件の下で収束速度を O(r/√m) から O(√r/√m) に改善する修正バウンドを導入する。
• 分散を低減し、誤差バウンドのタイトネスを向上させるためのストラティファイドサンプリング戦略を提案・分析する。
• 濃度不等式を用いて誤差バウンドを形式化し、サンプル数 m およびマージナル寄与の範囲または分散に明示的な依存関係を設ける。
• 誤差バウンドのタイトネスの観点から、一様サンプリングとストラティファイドサンプリングの理論的性能を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マージナル寄与の分散のみが既知である場合、サンプリングに基づくシャープレー値近似に対して非漸近的誤差バウンドを導出できるか？
• RQ2 マージナル寄与の範囲が推定誤差バウンドのタイトネスにどのように影響するか？
• RQ3 マージナル寄与の範囲がシャープレー値に対して著しく大きい場合に、誤差バウンドを改善できるか？
• RQ4 ストラティファイドサンプリングは、シャープレー値近似において一様サンプリングに比べて推定誤差をどの程度低減できるか？

主な発見

• 論文は、マージナル寄与の分散が既知である場合のサンプリングに基づくシャープレー値近似に対する非漸近的誤差バウンドを確立した。
• マージナル寄与の範囲がシャープレー値に対して著しく大きい場合、誤差バウンドは O(r/√m) から O(√r/√m) に改善された。
• ストラティファイドサンプリングは推定誤差を効果的に低減し、一様サンプリングに比べてよりタイトなバウンドをもたらすことが示された。
• 導出されたバウンドは、過去の研究が漸近的近似に依存するのとは異なり、任意の有限サンプル数に対して有効である。
• 理論的分析により、誤差バウンドがサンプル数とマージナル寄与の分散の両方に依存することが確認された。
• 高範囲条件におけるバウンドタイトネスの向上は、極端なマージナル寄与値を示すゲームに注目する理論的根拠を提供する。