[論文レビュー] Bounding the Mim-Width of Hereditary Graph Classes

Nick Brettell, Jake Horsfield+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Advanced Graph Theory Research参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、任意の s ≥ 0 および t ≥ 1 に対して、(Kt, sP1 + P5)-自由グラフの mim-幅が有界であり、多項式時間で計算可能であることを証明している。定数サイズの支配集合を用いた枝分解を構築し、分割集合間の誘導マッチングにラマヌジャン的境界を適用することで、このようなグラフが k-Colouring などの NP 困難問題に対して効率的なアルゴリズムを有することを確立しており、このクラスにおける既存の tractability 結果を統一的に説明するものである。

ABSTRACT

A large number of NP-hard graph problems are solvable in XP time when parameterized by some width parameter. Hence, when solving problems on special graph classes, it is helpful to know if the graph class under consideration has bounded width. In this paper we consider mim-width, a particularly general width parameter that has a number of algorithmic applications whenever a decomposition is "quickly computable" for the graph class under consideration. We start by extending the toolkit for proving (un)boundedness of mim-width of graph classes. By combining our new techniques with known ones we then initiate a systematic study into bounding mim-width from the perspective of hereditary graph classes, and make a comparison with clique-width, a more restrictive width parameter that has been well studied. We prove that for a given graph H, the class of H-free graphs has bounded mim-width if and only if it has bounded clique-width. We show that the same is not true for (H₁,H₂)-free graphs. We identify several general classes of (H₁,H₂)-free graphs having unbounded clique-width, but bounded mim-width, illustrating the power of mim-width. Moreover, we show that a branch decomposition of constant mim-width can be found in polynomial time, for these classes. Hence, as mentioned, these results have algorithmic implications: when the input is restricted to such a class of (H₁,H₂)-free graphs, many problems become polynomial-time solvable, including classical problems such as k-Colouring and Independent Set, domination-type problems known as LC-VSVP problems, and distance versions of LC-VSVP problems, to name just a few. We also prove a number of new results showing that, for certain H₁ and H₂, the class of (H₁,H₂)-free graphs has unbounded mim-width. Boundedness of clique-width implies boundedness of mim-width. By combining our results, which give both new bounded and unbounded cases for mim-width, with the known bounded cases for clique-width, we present summary theorems of the current state of the art for the boundedness of mim-width for (H₁,H₂)-free graphs. In particular, we classify the mim-width of (H₁,H₂)-free graphs for all pairs (H₁,H₂) with |V(H₁)| + |V(H₂)| ≤ 8. When H₁ and H₂ are connected graphs, we classify all pairs (H₁,H₂) except for one remaining infinite family and a few isolated cases.

研究の動機と目的

• 任意の s ≥ 0 および t ≥ 1 に対して、(Kt, sP1 + P5)-自由グラフの mim-幅が有界であり、迅速に計算可能かどうかを特定すること。
• k-Colouring の多項式時間解法が (sP1 + P5)-自由グラフで成立する理由を、有界な mim-幅に結びつける構造的説明を提供すること。
• 無限個の未解決事例を含む、有界グラフクラスにおける mim-幅の理解を深めること。

提案手法

• 禁止クリーク Kt のサイズ t についての帰納法を用いて、(Kt, sP1 + P5)-自由グラフにおける有界 mim-幅を証明する。
• 任意のこのようなグラフに、定数サイズの支配集合 D が存在することを特定し、P5-自由性または sP1 + P5-自由性を活用して |D| ≤ max{3, t−1} または s+4 と有界化する。
• 頂点集合 V ∓ D を、D の頂点への隣接関係に基づき p = |D| 個の集合 X1, ..., Xp に分割し、各 Xi が (Kt−1, sP1 + P5)-自由部分グラフを誘導することを保証する。
• ラマヌジャンの定理を適用して、任意の i ≠ j に対して Xi と Xj 間の誘導マッチングのサイズを有界化し、cutmimG(Xi, Xj) < R(t−1, R(t−1, s+2)) を示す。
• Xi の各成分について再帰的構成を用いて、G − D に対する mim-幅が有界な枝分解を構築する。
• D を含めるために、|D|+2 個の葉をもつ部分立方木を接続し、mim-幅が定数加法的要因内で保たれることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の s ≥ 0 および t ≥ 1 に対して、(Kt, sP1 + P5)-自由グラフの mim-幅は有界であり、多項式時間で計算可能か？
• RQ2 (sP1 + P5)-自由グラフにおける k-Colouring の多項式時間解法は、有界な mim-幅によって説明可能か？
• RQ3 (Kt, sP1 + P5)-自由グラフのどのような構造的性質が、低 mim-幅の枝分解の構築を可能にするか？

主な発見

• (Kt, sP1 + P5)-自由グラフの mim-幅は、s と t のみに依存する定数で有界であり、この境界は多項式時間で計算可能である。
• 任意の固定された s ≥ 0 および t ≥ 1 に対して、(Kt, sP1 + P5)-自由グラフに対して、定数 mim-幅の枝分解を多項式時間で計算可能である。
• 証明により、(sP1 + P5)-自由グラフのクラスが有界 mim-幅を有することを示しており、このクラスにおける k-Colouring の多項式時間解法を説明する。
• 分解における任意の二つの部分集合 Xi と Xj 間の最大誘導マッチングのサイズは、R(t−1, R(t−1, s+2)) で有界であり、mim-幅が有界であることを保証する。
• 枝分解の構築は効率的であり、定数サイズの支配集合と誘導部分グラフの再帰的分解に依存している。
• この結果により、有界 mim-幅グラフで解けるすべての NP 困難問題（例：k-Colouring）が、(sP1 + P5)-自由グラフでも多項式時間で解けることが示され、その背後にある根本的要因は有界 mim-幅である。