[論文レビュー] Bounding the torsion in CM elliptic curves

Dipendra Prasad, C. S. Yogananda|ArXiv.org|Oct 19, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 22

ひとこと要約

この論文は、デュールの特異素数に関する理論と類体論を用いて、数体上のCM楕円曲線の torsion部分群に対する有効な上限を確立する。CM楕円曲線が次数 $ d $ の数体 $ K $ 上に定義されている場合、$ K \cap k = \mathbb{Q} $ ならば $ \varphi(M) \leq 2d $、$ k \subseteq K $ ならば $ \varphi(M') \leq 2d $ が成り立つ。ここで $ M $ は torsion部分群の位数、$ M' $ は $ M $ の修正された根拡大（radical）である。

ABSTRACT

Merel has shown that the order of torsion subgroup of an elliptic curve over a number field can be bounded in terms of only the degree of the number field. The purpose of this note is to investigate what could be the `right bound'. In this paper we use the result of Deuring on the supersingular primes for a CM elliptic curves to give estimate on the number of torsion points on CM elliptic curves over any number field which depends only linearly with the degree of the number field. This result is also a simple corollary of a result of A. Silverberg bounding the order of torsion elements which was proved using the main theorem of Complex multiplication. We also give a heuristic for hoping that the number of torsion points on any elliptic curve be a bounded linearly with the degree of the number field.

研究の動機と目的

• 初等的な代数的数論とデュールの特異素数に関する結果を用いて、数体上のCM楕円曲線の torsion部分群の位数に対する有効な上限を導出すること。
• Cebotarev の密度定理を用いて、特異素数の技法のみで銀河の境界を精緻化・再導出すること。
• CMの場合における torsion の境界の鋭さを調査し、体の次数に関して torsion 増加の一様性に関する予想を提示すること。
• 体の交叉 $ K \cap k $ と torsion 部分群の構造が境界を決定づける役割を明らかにすること。

提案手法

• デュールの定理を用いて、楕円曲線が特異的還元をもち、かつ $ p+1 $ もしくは $ p^2+1 $ が torsion の位数を割り切るような素数 $ p $ を特定する。
• Cebotarev の密度定理を用いて、CM体 $ k $ において非分解であり、かつ $ K $ において次数1または次数2の素点を上に持つ素数 $ p $ の密度を推定する。
• ガロア群におけるフロベニウス元の群論的議論を用いて、このような素数の密度の下界を確立する。
• このような素数の密度と $ \pm 1 \mod M $ と合同な素数の密度との間の不等式を導出し、$ \varphi(M) $ もしくは $ \varphi(M') $ の上限を得る。
• 特に $ k = \mathbb{Q}(i), \mathbb{Q}(\omega) $ の場合に追加の torsion 構造が生じるため、$ k \subseteq K $ の場合に対応するため、修正された根拡大 $ M' $ を導入する。
• ガロア群の構造と複素共役の存在を用いて、必要な分解・不分解条件を満たすフロベニウス元の数を制限する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次数 $ d $ の数体上に定義されたCM楕円曲線の torsion 部分群の位数として、最大でどれほど大きな値が可能か？
• RQ2 体の交叉 $ K \cap k $ は、torsion 構造と $ \varphi(M) $ の境界にどのように影響を与えるか？
• RQ3 複素乗法の定理に依存せずに、特異素数と密度の議論を用いて torsion の位数の境界を改善できるか？
• RQ4 CM体 $ k $ が $ K $ に含まれる場合、修正された根拡大 $ M' $ が果たす役割は何か？
• RQ5 任意のCM楕円曲線の torsion 点の位数 $ N $ に対して、$ \varphi(N) \leq C[K:\mathbb{Q}] $ を満たす一様な定数 $ C $ が存在するか？

主な発見

• 次数 $ d $ の数体 $ K $ 上に定義されたCM楕円曲線で、$ K \cap k = \mathbb{Q} $ である場合、torsion 部分群の位数 $ M $ に対して $ \varphi(M) \leq 2d $ が成り立つ。
• $ k \subseteq K $ だが $ k \neq \mathbb{Q}(i), \mathbb{Q}(\omega) $ である場合、$ M' $ を $ M' = \prod l_i^{(j_i + \delta_i)/2} $ で定義される $ M $ の類似根拡大とすると、$ \varphi(M') \leq 2d $ が成り立つ。
• $ k = \mathbb{Q}(i) $ または $ \mathbb{Q}(\omega) $ の場合、この手法により $ 2^{d(M)+1} $ の追加係数が得られ、ここで $ d(M) $ は $ M $ の異なる素因数の個数を表す。
• $ k $ で非分解で、かつ $ K $ において次数1の素点を上に持つ素数 $ p $ の密度は少なくとも $ 1/(2d) $ 以上であり、これにより $ \varphi(M) \leq 2d $ の境界が得られる。
• $ k \subseteq K $ の場合、次数2の素点を上に持ち、特異的還元をもつ素数の密度は少なくとも $ 1/d $ 以上であり、これにより $ \varphi(M') \leq 2d $ が得られる。
• 特に $ K $ が正規でない場合、以前に知られていた境界よりも鋭い境界が得られ、例えばあるガロア拡張では $ \varphi(M) \leq 4 $ といったより厳しい制約が得られる場合がある。