[論文レビュー] Bounds and Computation of Irregularity of a Graph

Hosam Abdo, Nathann Cohen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2012

Graph theory and applications参考文献 8被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、n 頂点をもつ単純無向グラフの正確な最大不規則性を確立し、clique-star グラフ $KS_{\lfloor n/3\rfloor,\lceil 2n/3\rceil}$ が鋭い上界 $ \left\lfloor \frac{n}{3} \right\rfloor \left\lceil \frac{2n}{3} \right\rceil \binom{\left\lceil \frac{2n}{3} \right\rceil - 1}{2}$ を達成することを証明し、不規則性の計算を効率的に行うための次数列に基づく上界を提示している。

ABSTRACT

Albertson has defined the irregularity of a simple undirected graph $G=(V,E)$ as $ \irr(G) = \sum_{uv\in E}|d_G(u)-d_G(v)|,$ where $d_G(u)$ denotes the degree of a vertex $u \in V$. Recently, this graph invariant gained interest in the chemical graph theory, where it occured in some bounds on the first and the second Zagreb index, and was named the third Zagreb index Fath-Tabar. For general graphs with $n$ vertices, Albertson has obtained an asymptotically tight upper bound on the irregularity of $4 n^3 /27.$ Here, by exploiting a different approach than in Albertson, we show that for general graphs with $n$ vertices the upper bound $\lfloor \frac{n}{3} floor \lceil \frac{2 n}{3} ceil (\lceil \frac{2 n}{3} ceil -1)$ is sharp. Next, we determine $k$-cyclic graphs with maximal irregularity. We also present some bounds on the maximal/minimal irregularity of graphs with fixed minimal and/or maximal vertex degrees, and consider an approximate computation of the irregularity of a graph.

研究の動機と目的

• すべての n 項の単純無向グラフにおける不規則性不変量の正確な最大値を特定すること。
• 最大不規則性に達するグラフの構造を同定すること。
• 次数列のみを用いてグラフの不規則性を計算的に効率的に近似する方法を開発すること。
• 第三 Zagreb 指数（不規則性）に関する先行の上限を拡張し、タイトで正確な上界を提供すること。

提案手法

• 次数列を用いた不規則性の新しい上界を導出：$\text{irr}(G) \leq \sum_{i=0}^{n-1} \min\left(\sum_{d(v)\leq i} \min(d(v), d_{>i}), \sum_{d(v)>i} \min(d(v), d_{\leq i}) \right)$。
• 極値グラフ理論を用いて、最大不規則性を持つグラフは少なくとも $\lfloor n/3 \rfloor$ 個のユニバーサル頂点を持つ必要があることを示した。
• clique-star グラフ $KS_{p,q}$（サイズ p のクリークとサイズ q の独立集合の結合）の構造を分析した。
• n \not\equiv 2 \pmod{3} のとき、最大不規則性は $KS_{\lfloor n/3 \rfloor, \lceil 2n/3 \rceil}$ で達成され、n \equiv 2 \pmod{3} のときには $KS_{\lfloor n/3 \rfloor, \lceil 2n/3 \rceil}$ と $KS_{\lceil n/3 \rceil, \lfloor 2n/3 \rfloor}$ の両方で達成されることを証明した。
• 次数列の計算的列挙を用いて理論的上限を検証し、極値グラフを同定した。
• ソフトウェアツール（Sage, Nauty）を用いて、n \leq 23 のグラフについて結果を列挙および検証した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の単純無向グラフ（n 項）における不規則性不変量の正確な最大値は何か？
• RQ2 与えられた n に対して、最大不規則性に達するグラフ構造は何か？
• RQ3 グラフの不規則性は、次数列のみを用いて効率的に近似可能か？
• RQ4 不規則性は既知のグラフ不変量（Zagreb 指数など）とどのように関係し、最もタイトな既知の上限は何か？

主な発見

• n 頂点をもつ任意のグラフの最大不規則性は、正確に $\left\lfloor \frac{n}{3} \right\rfloor \left\lceil \frac{2n}{3} \right\rceil \binom{\left\lceil \frac{2n}{3} \right\rceil - 1}{2}$ であり、この上限は鋭い。
• この最大値に達する極値グラフは、clique-star グラフ $KS_{\lfloor n/3 \rfloor, \lceil 2n/3 \rceil}$ であり、n \equiv 2 \pmod{3} の場合を除いてはこれだけである。
• n \leq 23 の範囲で、次数列に基づく不規則性の上界は clique-star グラフの実際の不規則性と一致し、極値性が裏付けられた。
• 極値グラフにおいて、次数列から導かれた上界はタイトであり、完全なグラフ列挙なしに不規則性を実用的に近似する手法を提供する。
• 本研究は、不規則性（第三 Zagreb 指数）が、clique-star 構造によって正確に最大化されることを確認し、長年の未解決であった極値グラフに関する根本的問題を解決した。
• 本研究は、Albertson の以前の漸近的上限 $4n^3/27$ を拡張し、タイトで正確な式を提供した。