[論文レビュー] Bounds for graph invariants

Isidoro Gitler, Carlos E. Valencia|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2005

Advanced Graph Theory Research参考文献 8被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、グラフ G の安定数 α(G) に対する新しい上界を、被覆数 τ(G) と σv-被覆数 σv(G) を用いて確立する。α(G) ≤ τ(G)[1 + α(G) − σv(G)] を証明する。さらに、α(G)、τ(G)、連結成分の数 c(G) を用いて、G に含まれる辺の数に関する下界を導出し、与えられた制約下での最小辺数を定量化するための組合せ関数 Γ(a,t) を導入する。

ABSTRACT

Let G be a graph without isolated vertices and let α(G) be its stability number and τ(G) its covering number. The σv-cover number of a graph, denoted by σv(G), is the maximum natural number m such that every vertex of G belongs to a maximal independent set with at least m vertices. In the first part of this paper we prove that α(G) ≤ τ(G)[1 + α(G) − σv(G)]. We also discuss some conjectures analogous to this theorem. In the second part we give a lower bound for the number of edges of a graph G as a function of the stability number α(G), the covering number τ(G) and the number of connected components c(G) of G. Namely, let a and t be two natural numbers and let a ∑ () zi Γ(a, t) = min | z1 + · · · + za = a + t and zi ≥ 0 ∀ i = 1,...,a. 2 i=1 Then if G is any graph, we have: 1

研究の動機と目的

• σv-被覆数と被覆数 τ(G) を用いて、安定数 α(G) の理論的上界を確立すること。
• 具体的には、α(G)、τ(G)、および連結成分の数 c(G) というグラフ不変量の関係と、グラフに含まれる辺の最小数の関係を調査すること。
• α(G) と τ(G) に制約を課したもとでの辺数の下界を計算するためのツールとして、関数 Γ(a,t) を導入し、その分析を行うこと。

提案手法

• 最大独立集合の性質と頂点被覆の性質を用いて、α(G)、τ(G)、σv(G) の間の不等式 α(G) ≤ τ(G)[1 + α(G) − σv(G)] を導出する。
• σv(G) を、すべての頂点がサイズが少なくとも m の最大独立集合に属するような最大の m として定義する。
• 非負整数 zi が合計 a + t に達するような条件下で ∑(zi²)/2 の最小値をとる組合せ関数 Γ(a,t) = min ∑(zi²)/2 を定義し、辺数の下界を計算するのに用いる。
• 極値的グラフ理論の技法を用いて、α(G)、τ(G)、c(G) に制約を課したもとでの辺数の最小化を試み、Γ(a,t) を主要な構成要素として用いる。
• 整数分割に関するケース分析と最適化を用いて、辺数の下界を確立する。
• 独立集合理論とグラフ分解を組み合わせることで、任意の c(G) を持つグラフに一般化された境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 τ(G) と σv(G) を用いた安定数 α(G) の最もタイトな上界は何か？
• RQ2 σv-被覆数 σv(G) は、α(G) と τ(G) の関係にどのように影響を与えるか？
• RQ3 固定された α(G)、τ(G)、および連結成分の数 c(G) をもつグラフ G が有する最小辺数は何か？
• RQ4 関数 Γ(a,t) を用いて、α(G) と τ(G) に制約を課したもとでの辺数の下界をどのように計算できるか？
• RQ5 導出された境界は、孤立頂点を含まないすべてのグラフに一般化可能か？また、そのタイトネス条件は何か？

主な発見

• 本稿では、α(G) ≤ τ(G)[1 + α(G) − σv(G)] を証明し、安定数、被覆数、σv-被覆数を結ぶ新しい理論的制約を確立する。
• σv-被覆数 σv(G) は、すべての頂点がサイズが少なくとも m の最大独立集合に属するような最大の m として定義され、独立集合内での頂点分布のより洗練された測度を提供する。
• 関数 Γ(a,t) を用いて、G に含まれる辺数の下界が導出され、これは非負整数 zi が合計 a + t に達するような条件下で ∑(zi²)/2 の最小値をとる。
• τ(G) ≥ α(G) である限り、グラフ G に含まれる辺数の最小値は Γ(α(G), τ(G) − α(G)) 以上であることが示された。この結果は、孤立頂点が存在しないという仮定の下で成り立つ。
• 特定の α(G)、τ(G)、c(G) の構成、特に Γ(a,t) を最小化する整数分割に対応する成分に分解されたグラフにおいて、境界はタイトである。
• 結果は、孤立頂点を含まないすべてのグラフに一般化可能であり、辺数の境界は α(G)、τ(G)、および連結成分の数 c(G) に依存する。