[論文レビュー] Bounds for Laplace eigenvalues of Kaehler metrics

Gerasim Kokarev|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、複素多様体の高次ラプラシアン固有値に対する鋭い上界を、ホロモルフィック次数を用いて確立し、1994年のBourguignon-Li-Yauの第一固有値に関する古典的不等式を一般化する。Fubini-Study幾何からのテスト関数の引き戻しを用い、Sobolev推定と変分原理を適用することで、すべての $ k \geq 1 $ に対して $ \lambda_k \leq C(n,m) \cdot d([\phi],[\omega_g]) \cdot k $ を示す。ここで $ d([\phi],[\omega_g]) $ はホロモルフィック次数であり、$ C(n,m) $ は次元 $ n $ と $ m $ のみに依存する。この結果により、固定されたケーラー類における高次固有値に対する初めての一般固有値評価が得られる。

ABSTRACT

We prove inequalities for Laplace eigenvalues of Kaehler manifolds generalising to higher eigenvalues the classical inequality for the first Laplace eigenvalue due to Bourguignon, Li, and Yau in 1994. We also obtain similar inequalities for analytic varieties in Kaehler manifolds.

研究の動機と目的

• ケーラー多様体上の高次固有値への1994年Bourguignon-Li-Yauの第一ラプラシアン固有値不等式の一般化。
• 同じ枠組みのもとでケーラー多様体内の解析的部分多様体に対する固有値評価の確立。
• Yauが提起したケーラー幾何における高次固有値評価に関する問題の解決。
• ホロモルフィック次数と次元にのみ依存するスケール不変な固有値推定の提供。

提案手法

• 非定値なホロモルフィック写像 $ \phi: \Sigma^n \to \mathbb{C}P^m $ を用いて、$ \mathbb{C}P^m $ 上のリプシッツ関数の引き戻しとしてテスト関数を構成。
• ラウールの商の変分原理を用い、テスト関数の $ L^2 $-ノルムと勾配の $ L^2 $-ノルムを用いて固有値 $ \lambda_k $ を評価。
• 解析的部分多様体に対してMichael-SimonのSobolev不等式を適用し、引き戻し関数の $ W^{1,2} $-ノルムを制御。
• 解析的多様体に対してストークスの公式を用い、部分積分と勾配ノルム推定の正当化。
• 幾何的不変量としてホロモルフィック次数 $ d([\phi],[\omega_g]) = \left(\int \phi^*\omega_{FS} \wedge \omega_g^{n-1}\right)/\left(\int \omega_g^n\right) $ を中心に用いる。
• Sobolev埋め込みと楕円的正則性を用いて、正則部分多様体上でのラプラシアンのリゾルベントのコンパクト性を確立。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Bourguignon, Li, Yauの古典的第一固有値評価は、ケーラー多様体上の高次ラプラシアン固有値へ拡張可能か？
• RQ2 固定されたケーラー類において、高次固有値の成長を制御する幾何的不変量は何か？
• RQ3 解析的部分多様体に対しても同様の固有値評価が成り立つか？
• RQ4 すべての $ k \geq 1 $ に対して $ \lambda_k \leq C(n,m) \cdot d \cdot k $ を満たす普遍定数 $ C(n,m) $ が存在するか？
• RQ5 埋め込みの仮定がない状況で、ホロモルフィック次数 $ d([\phi],[\omega_g]) $ は固有値の成長とどのように関係するか？

主な発見

• 本稿は、任意の $ k \geq 1 $ に対して、$ k $ 番目のラプラシアン固有値が $ \lambda_k(\Sigma^n,g) \leq C(n,m) \cdot d([\phi],[\omega_g]) \cdot k $ を満たすことを証明する。ここで $ C(n,m) $ は複素次元 $ n $ と埋め込み先の射影空間次元 $ m $ のみに依存する。
• この評価は、$ \phi $ が埋め込みである必要もなく、像が非退化でない場合にも成り立つ。
• 複素次元1の場合、この結果はKorevaarの評価 $ \lambda_k(\Sigma^1,g) \cdot \mathrm{Vol}_g(\Sigma^1) \leq C_* \cdot \deg(\phi) \cdot k $ を回復し、$ C_* $ は普遍定数である。
• ホロモルフィック次数 $ d([\phi],[\omega_g]) $ はスケール不変量であり、固定されたケーラー類における固有値の成長率を制御する。
• 証明により、Sobolev埋め込みと楕円的正則性を用いて、解析的部分多様体上でのラプラシアンの離散スペクトルとコンパクトなリゾルベントが確立される。
• 特異な解析的部分多様体に対しても、正則部分多様体に制限し、有界平均曲率の流れに対してMichael-SimonのSobolev不等式を適用することで、本手法が適用可能である。