[論文レビュー] Bounds for orthogonal arrays with repeated rows

Douglas R. Stinson|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2018

Optimal Experimental Design Methods参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、行が $m$ 回繰り返される場合に、直交配列の強度2におけるPlackett-Burmanの上限を、分散に基づく証明技法を用いて $m$ 倍の要因で強化する。さらに、Mukerjee, Qian, and Wuの定理を用いて、この結果をより高い強度の直交配列へ一般化し、繰り返しのある行を含む配列の存在限界をより厳密に特定する。応用分野は実験設計および組合せ的構成である。

ABSTRACT

In this expository paper, we mainly study orthogonal arrays (OAs) of strength two having a row that is repeated $m$ times. It turns out that the Plackett-Burman bound (\cite{PB}) can be strengthened by a factor of $m$ for orthogonal arrays of strength two that contain a row that is repeated $m$ times. This is a consequence of a more general result due to Mukerjee, Qian and Wu \cite{Muk} that applies to orthogonal arrays of arbitrary strength $t$. We examine several proofs of the Plackett-Burman bound and discuss which of these proofs can be strengthened to yield the aforementioned bound for OAs of strength two with repeated rows. We also briefly discuss related bounds for $t$-designs, and OAs of strength $t$, when $t > 2$.

研究の動機と目的

• 強度2の直交配列に $m$ 回繰り返される行を含む場合の、より厳密な存在限界を確立すること。
• 強化されたPlackett-Burmanの上限を、任意の強度 $t \geq 2$ の直交配列へ一般化すること。
• 標準的なPlackett-Burman上限の証明法のうち、繰り返しのある行を組み込むために適合可能なものを特定すること。
• 直交配列の上限と、平衡不完全ブロック設計（BIBDs）および $t$-設計の上限との類似性を検討すること。
• 実験設計における実用的応用に動機づけられた、高重複度の行を有する直交配列の構築に対する理論的根拠を提供すること。

提案手法

• 直交配列 $\mathrm{OA}_\lambda(k,n)$ に $m$ 回繰り返される行が存在する場合に、古典的な分散法によるPlackett-Burman上限の証明を修正し、その影響を反映する。
• 非繰り返しの行にのみ重みを再配分し、行和と分散を再定式化することで、$m$ に比例するスケーリングが施された修正不等式を導出する。
• Mukerjee, Qian, and Wu（2003）のネストされた直交配列に関する一般化結果を応用し、強度 $t \geq 2$ の場合の限界を導出する。
• 直交配列のRao上限を出発点とし、行が $m$ 回繰り返される場合にその上限を $m$ 倍にスケーリングする。
• Fisherの不等式、Mannの不等式、Wilsonの錐条件に基づく証明技法を比較し、繰り返しのある行に適応可能かどうかを評価する。
• 直交配列と $t$-設計の上限の類似性を確立し、特に繰り返しのあるブロックの文脈で検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強度2の直交配列において、行が $m$ 回繰り返される場合、Plackett-Burmanの上限を改善できるか？
• RQ2 標準的なPlackett-Burman上限の証明法のうち、繰り返しのある行を組み込んだ場合に、強化された上限を導けるものはどれか？
• RQ3 強化された上限を、強度 $t > 2$ の直交配列へ一般化できるか？
• RQ4 繰り返しのある行を含む直交配列の上限は、繰り返しのあるブロックを含む既知のBIBDおよび $t$-設計の上限とどのように比較できるか？
• RQ5 実験設計における実用的応用に動機づけられた、高重複度の行を有する直交配列の構築には、理論的根拠があるか？

主な発見

• 行が $m$ 回繰り返される $\mathrm{OA}_\lambda(k,n)$ に対して、上限は $\lambda \geq \frac{m(k(n-1) + 1)}{n^2}$ に強化され、元のPlackett-Burman上限を $m$ 倍改善する。
• 強度2の場合の強化された上限は、非繰り返しの行の数が減少することを考慮した分散に基づく証明技法により導出される。
• Mukerjee-Qian-Wuの結果を用いることで、この結果はより高い強度の直交配列へ一般化され、行が $m$ 回繰り返される場合にRao上限が $m$ 倍にスケーリングされる。
• 重複度 $m$ の繰り返しブロックを有する $t$-設計に対して、Wilsonの不等式は $b \geq m\binom{v}{s}$ を示し、BIBDのMannの不等式を一般化する。
• Fisher, Mann, および Wilsonの証明技法が、繰り返しのある行／ブロックの状況に適応可能であることが示され、特にWilsonの方法が最も一般的だが、複雑である。
• 直接的な帰結として、$m \leq \frac{\lambda n^2}{k(n-1) + 1}$ という上限が導出され、与えられた配列に対して可能な最大繰り返し回数が得られる。