[論文レビュー] Bounds for the rank of the finite part of operator $K$-Theory

Süleyman Kağan Samurkaş|arXiv (Cornell University)|May 21, 2017

Advanced Operator Algebra Research被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、有限生成群の最大および縮小 C*-代数における作用素 K-理論群の有限部のランクについて、鋭い下界と上界を確立する。『多項式的完全群』と呼ばれるクラス（ヴァーチャル・ニルポテンツ群を含む）を導入し、両者の境界が一致することを示し、アーベル群、対称群、ディーデル群において、共役類構造およびオイラーのトゥータント関数を用いてランクの明示的公式を導出する。

ABSTRACT

We derive a lower and an upper bound for the rank of the finite part of operator $K$-theory groups of maximal and reduced $C^*$-algebras of finitely generated groups. The lower bound is based on the amount of polynomially growing conjugacy classes of finite order elements in the group. The upper bound is based on the amount of torsion elements in the group. We use the lower bound to give lower bounds for the structure group $S(M)$ and the group of positive scalar curvature metrics $P(M)$ for an oriented manifold $M$. We define a class of groups called "polynomially full groups" for which the upper bound and the lower bound we derive are the same. We show that the class of polynomially full groups contains all virtually nilpotent groups. As example, we give explicit formulas for the ranks of the finite parts of operator $K$-theory groups for the finitely generated abelian groups, the symmetric groups and the dihedral groups.

研究の動機と目的

• 有限生成群の最大および縮小 C*-代数における作用素 K-理論群の有限部のランクに対する下界と上界を導出すること。
• これらの境界を、コンパクトな向き付け可能多様体 M 上の構造群 S(M) および正スカラー曲率計量の群 P(M) の構造を調べるために応用すること。
• 下界と上界が一致する群として「多項式的完全群」を定義し、特徴づけること。
• アーベル群、対称群、ディーデル群などの特定の群のクラスにおける K-理論の有限部のランクの明示的公式を計算すること。
• K₀(C*G) 内の線形独立な射影がアセンブリーマップの像と自明に交わる条件を確立し、これにより S(M) および P(M) の下界を得ること。

提案手法

• g ∼fin h が C*G 内で pg と ph が共役であるとき、有限位の元の同値類の数 FG を定義する。
• 群代数 CG の要素に対するトレース写像 τh: CG → ℂ を定義し、それを滑らかで稠密な部分代数 A ⊆ C*rG に拡張し、K₀(C*G) → ℂ のホモモーフィズム ρi を誘導する。
• CG の完成化において、連続性と滑らかさを保証するノルムを用いて τh を上昇させ、A への拡張を可能にする。
• K₀(C*G) 内の {pg}g∈S の線形独立性が、ρi による像の線形独立性から従うことを示し、そのためにこのようなトレース拡張の存在を要請する。
• 位数 d の元に対して ∼d を、g ∼d h が ある a ∈ ℕ に対して ga ∈ C(h) を満たすときと定義し、|Gfin_d / ∼d| を計算することで FG = Σd≥1 |Gfin_d / ∼d| を得る。
• 多項式的完全群では、Kfin₀(C*G) のランクに対する下界と上界が一致することを証明し、ヴァーチャル・ニルポテンツ群が多項式的完全群であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kfin₀(C*G) のランクに対する鋭い下界と上界は、群論的不変量を用いてどのように表現できるか？
• RQ2 K-理論の有限部のランクに対する下界と上界が一致する群のクラスは何か？
• RQ3 多様体 M 上の構造群 S(M) および正スカラー曲率計量の群 P(M) は、K-理論的要素を用いてどのように下界で抑えられるか？
• RQ4 有限生成アーベル群、対称群、ディーデル群などの特定の群において FG の明示的公式はどのように導出できるか？
• RQ5 CG 上のトレース写像が C*rG の滑らか部分代数に拡張可能となる条件は何か？ これにより K₀(C*G) 内の線形独立性が検出可能となる。

主な発見

• Kfin₀(C*G) のランクに対する下界は FG = Σd≥1 |Gfin_d / ∼d| であり、これは有限位の元の ∼d 同値類の数に基づく。
• Kfin₀(C*G) のランクに対する上界も FG に等しいため、多項式的完全群ではランクは正確に FG に等しい。
• G = ℤ/n₁ × ⋯ × ℤ/nₖ のとき、FG = Σ_{d₁|n₁}⋯Σ_{dₖ|nₖ} φ(d₁)⋯φ(dₖ)/φ(lcm(d₁,…,dₖ)) であり、φ はオイラーのトゥータント関数である。
• G = ℤ/n₁ × ⋯ × ℤ/nₖ × ℤ^m のとき、FG は有限アーベルの場合と同じ式で与えられる。なぜなら、ねじれ元は有限部分によって決定されるからである。
• ディーデル群 Dₙ に対しては、n が奇数のとき FG = Fℤ/n + 1、n が偶数のとき FG = Fℤ/n + 2 であり、Fℤ/n は n の正の約数の個数である。
• 対称群 Sₙ に対しては、FG は Sₙ 内の共役類の個数に等しく、この場合 ∼fin は共役と一致する。