[論文レビュー] Bounds for the regularity of edge ideal of vertex decomposable and shellable graphs

Somayeh Moradi, Dariush Kiani|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2010

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 11被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、グラフ不変量を用いて、頂点分解可能かつシェーリング可能なグラフのエッジイデアルのカステルヌオーヴォ・マウムフォード正則性の上界を確立する。頂点分解可能なグラフに対しては、reg(R/I(G)) ≤ min{a′(G), n(G)} を示し、シェーリング可能なグラフに対しては、reg(R/I(G)) ≤ n(G) を示す。また、補グラフがdツリーである場合の射影次元に関する追加結果も得ている。

ABSTRACT

In this paper we give upper bounds for the regularity of edge ideal of some classes of graphs in terms of invariants of graph. We introduce two numbers $a'(G)$ and $n(G)$ depending on graph $G$ and show that for a vertex decomposable graph $G$, $\ eg(R/I(G))\\leq \\min\\{a'(G),n(G)\\}$ and for a shellable graph $G$, $\ eg(R/I(G))\\leq n(G)$. Moreover it is shown that for a graph $G$, where $G^c$ is a $d$-tree, we have $\\pd(R/I(G))=\\max_{v\\in V(G)} \\{\\deg_G(v)\\}$.

研究の動機と目的

• 頂点分解可能かつシェーリング可能なグラフのエッジイデアルの正則性に対する上界を、グラフ論的不変量を用いて導出すること。
• 正則性の上界を求めるために、2つの新しいグラフ不変量 a′(G) および n(G) を導入し、それらを分析すること。
• 補グラフ G^c がdツリーである場合の R/I(G) の射影次元を特徴付けること。
• 特殊なグラフクラスにおけるエッジイデアルの正則性および射影次元に関する既知の結果を拡張すること。
• エッジイデアルにおける代数的不変量（reg, pd）と組合せ的性質（マッチング、パス、次数）の関係を明確にすること。

提案手法

• a′(G) を、G 内の長さ ≤2 の頂点を互いに共有しないパスの最大個数として定義する。長さ1のパスは3-非共有とみなす。
• n(G) を、独立集合の構造およびシェーリング性に関連するグラフ不変量として定義する。
• 独立複体 Δ_G の頂点分解およびシェーリング性を用いて、reg(R/I(G)) の上界を導出する。
• 定理B（平方自由単項式イデアルに対して reg(R/I(G)) = pd(I(G)^∨)）を適用する。
• |V(G)| に関する帰納法とアレクサンダー双対の性質を用いて、射影次元の上界を証明する。
• G^c がdツリーである場合の線形商と集合列を特徴付け、pd(R/I(G)) の明示的公式に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 頂点分解可能なグラフに対して、a′(G) や n(G) といったグラフ不変量を用いて、reg(R/I(G)) の上界をどのように確立できるか？
• RQ2 エッジイデアルの正則性は、独立複体における独立集合の構造およびシェーリング性とどのように関係するか？
• RQ3 G^c（G の補グラフ）にどのような条件を課すと、pd(R/I(G)) = max_{v∈V(G)}{deg_G(v)} が成り立つか？
• RQ4 シェーリング可能なグラフにおいて、reg(R/I(G)) が n(G) のみで上界付けられるか？
• RQ5 G^c がdツリーである場合、エッジイデアルの射影次元に特徴づけられるものがあるか？

主な発見

• 任意の頂点分解可能なグラフ G に対して、reg(R/I(G)) ≤ min{a′(G), n(G)} が成り立つ。
• 任意のシェーリング可能なグラフ G に対して、reg(R/I(G)) ≤ n(G) が成り立つ。
• G^c がdツリーであるならば、pd(R/I(G)) = max_{v∈V(G)}{deg_G(v)} が成り立つ。
• G^c が三角形を含まないとき、reg(R/I(G)) ≤ 2 が成り立つ。
• G^c がdツリーであるとき、R/I(G) の射影次元は G の頂点の最大次数によって決定される。
• G^c がdツリーであるとき、エッジイデアル I(G) は線形商を持つため、pd(R/I(G)) の明示的計算が可能になる。