[論文レビュー] Bounds for the response of viscoelastic composites under antiplane loadings in the time domain

Ornella Mattei, Graeme W. Milton|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2015

Mechanical Behavior of Composites参考文献 29被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非周期的アンチプレーン応力下における2相のViscoelastic複合材料の過渡応力およびひずみ応答に対するきめの細かい境界を導出するため、解析的手法を時間領域に初めて応用する新規な手法を提示する。Viscoelastic有効特性の正則性を活用し、極の位置と残留行列を変数として線形計画法による最適化問題に定式化することで、体積分率や長期的・瞬時の応答を組み込むことで、特に高い精度の境界が得られる。これにより、複合材料の挙動の正確な予測や、相の体積分率の逆推定が可能となる。

ABSTRACT

To derive bounds on the strain and stress response of a two-component composite material with viscoelastic phases, we revisit the so-called analytic method (Bergman 1978), which allows one to approximate the complex effective tensor, function of the ratio of the component shear moduli, as the sum of poles weighted by positive semidefinite residue matrices. The novelty of this investigation lies in the application of such a method, previously applied (Milton 1980; Bergman 1980) to problems involving cyclic loadings in the frequency domain, to derive bounds in the time domain for the antiplane viscoelasticity case. The position of the poles and the residues matrices are the variational parameters of the problem: the aim is to determine such parameters in order to have the minimum (or maximum) response at any given moment in time. All the information about the composite is translated for each fixed pole configuration into constraints on the residues, the so-called sum rules. The linearity of the constraints, along with the observation that the response at a fixed time is linear in the residues, enables one to use the theory of linear programming to reduce the problem to one involving relatively few non-zero residues. Finally, bounds on the response are obtained by numerically optimizing over the pole positions. In the examples studied, the results turn out to be very accurate estimates: if sufficient information about the composite is available, the bounds can be quite tight over the entire range of time, allowing one to predict the transient behavior of the composite. Furthermore, the bounds incorporating the volume fractions (and possibly transverse isotropy) can be extremely tight at certain specific times.

研究の動機と目的

• 複合材料の有効特性を境界付けるために、従来周波数領域でのみ用いられてきた解析的手法を、アンチプレーンViscoelastic応力下の時間領域に拡張すること。
• 非周期的応力下における2成分のViscoelastic複合材料の過渡応力およびひずみ応答に対するきめの細かい境界を導出すること。
• 特定の時刻における測定応答と組み合わせて、きめの細かい境界を用いることで、相の体積分率の逆推定を可能にすること。
• 体積分率、横等方性、および瞬時・長期応答といった幾何的・材料的制約を境界式に組み込むこと。

提案手法

• 有効Viscoelasticテンソルを、正定値の残留行列で重み付けされた極の和として表現し、有効特性の正則性に基づく。
• 各時刻における応答の最大値または最小値を最適化するために、極の位置と残留行列を変数として扱う。
• 体積分率、横等方性、および特定時刻における既知の応答といった物理的制約を、残留行列に関する線形制約に変換する。
• 線形計画法を適用して非ゼロ残留行列の数を削減し、最適化問題の計算的扱いやすさを高める。
• 極の位置に関する数値最適化を実行し、MaxwellおよびKelvin-Voigtモデルの複合材料における応力・ひずみ応答の境界を計算する。
• 得られた境界を用いて、異なる応力履歴や時刻における応答を相関づけ、予測または逆解析を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非周期的Viscoelastic応力下において、周波数領域から時間領域への解析的手法の成功した拡張は可能か？
• RQ2 利用可能な材料的・幾何的情報に基づいて、アンチプレーンViscoelastic複合材料の過渡応力・ひずみ応答をどの程度きめの細かく境界付けることができるか？
• RQ3 特定時刻における測定応答を逆に用いることで、相の体積分率を高精度に推定できる範囲はどの程度か？
• RQ4 体積分率や横等方性といった制約が、時間経過に伴う導出された境界のきつさにどのように影響するか？
• RQ5 本手法を用いて、数個の重要な時刻における測定値から、新たな応力履歴に対する応答を予測できるか？

主な発見

• 体積分率や長期的・瞬時の応答といった情報が十分に与えられた場合、本手法はViscoelastic複合材料の過渡応答に対して極めて高い精度の境界を生成する。
• 体積分率と横等方性が組み込まれると、特定時刻における境界は極めてきつく、相の体積分率のほぼ正確な逆推定が可能になる。
• 境界は時間全体にわたりきつさを保ち続け、複合材料の全過渡挙動の信頼性ある予測が可能となる。
• 線形計画法の使用により、非ゼロ残留行列の数が顕著に削減され、最適化問題の計算的取り扱いやすさが大幅に向上する。
• 数値結果から、本手法は異なる時刻における応答を効果的に相関づけられ、新たな応力条件下での挙動予測が可能であることが示された。
• 本手法は、複数の時刻における緩和またはクリープカーネルを境界付けるためにも、一般化可能でロバストである。