[論文レビュー] Bounds for twisted symmetric square $L$-functions

Ritabrata Munshi|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2012

Analytic Number Theory Research被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$q^\ell$（$q$ は素数、$\ell > 1$）を素数べき導手とする捩れた対称平方 $L$-関数 $L(1/2, \text{Sym}^2f \otimes \chi)$ の中心値について、凸性を超える境界を確立する。$GL(2)$ ハッケ形式の第二モーメントとスペクトル理論に基づく新しい手法を用い、指数の保存量 $\delta_\ell > 0$ を達成する。特に $\ell = 3$ の場合、$\delta_\ell = \frac{1}{4}$ であり、非自己双対的次数3 $L$-関数において、$GL(2)$ 技法を用いた初の部分凸性結果である。

ABSTRACT

Let $f\in S_k(N,ψ)$ be a newform, and let $χ$ be a primitive character of conductor $q^{\ell}$. Assume that $q$ is a prime and $\ell>1$. In this paper we describe a method to establish convexity breaking bounds of the form $$ L( frac{1}{2},\Sym f\otimesχ)\ll_{f,\varepsilon} q^{3/4\ell-δ_{\ell}+\varepsilon} $$ for some $δ_{\ell}>0$ and any $\varepsilon>0$. In particular, for $\ell=3$ we show that the bound holds with $δ_{\ell}=1/4$.

研究の動機と目的

• 導手 $M_\chi = q^\ell$（$q$ は素数、$\ell > 1$）を持つ場合に、$L(1/2, \text{Sym}^2f \otimes \chi)$ の中心値についてレベル面における部分凸境界を確立すること。
• 導手 $q^\ell$ の自然な捩れ族から生じるシフトされた畳み込み和を取り扱う困難を克服するため、より大きなレベル $M$ における新しいヘッケ旧形式族を導入すること。
• 非自己双対的次数3 $L$-関数の設定において、$GL(2)$ 技法を用いて初の凸性打破境界 $L(1/2, \text{Sym}^2f \otimes \chi) \ll_{f,\ell,\varepsilon} q^{\frac{3}{4}\ell - \delta_\ell + \varepsilon}$（$\delta_\ell > 0$）を達成すること。
• $GL(3)$ ヴォロノイ和公式や中心 $L$-値の正値性仮定を避ける方法を提供すること。代わりに $GL(2)$ スペクトル理論とモーメント法に依存する。

提案手法

• 第二モーメント $\sum_{f \in \mathcal{F}_M} \left| \sum_n \lambda_f(n^2) \chi(n) h(n/N) \right|^2$ を、レベル $M$ のヘッケ形式の族上で評価する。ここで $h$ は滑らかな重み関数。
• レベル $M$ は、奇数の $\ell = 2j+1$ の場合 $16N_f q^{3j+1}$、偶数の $\ell = 2j > 2$ の場合 $16N_f q^{3j-1}$ に設定し、スペクトル理論とペトロフのトレース公式の適用を可能にする。
• 第二モーメントのスペクトル分解により、$S_k(M)$ に属する尖点形式 $g$ の和が得られ、スペクトル重み $\omega_g^{-1}$ を持つ。解析はペトロフのトレース公式を用いて非対角項に集中する。
• 非対角項は、$GL(2)$ クルーチャー和を用いて $c_2$ の和を完成させ、$c_2$-和に対してヴォロノイ和公式を適用することで、ベッセル関数と指数和を含む双対和が得られる。
• 得られた和は、積分路のずらしとディリクレ $L$-関数の近似関数等式を用いて評価され、$q \mid c_{21}$ の場合に導手が低下する現象に注意を払い、$\sqrt{q}$ の追加的保存量が得られる。
• 最終的な境界は、スペクトル側の推定、$c_2$-和の推定、$L$-関数の境界を組み合わせ、クルーチャー和のワイエル推定と [4] の結果（捩れた $L$-関数）を用いて得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 導手が素数べき $q^\ell$（$\ell > 1$）である場合に、$L(1/2, \text{Sym}^2f \otimes \chi)$ の中心値について、レベル面における部分凸境界を確立できるか。特に $L$-関数が自己双対的でない場合に。
• RQ2 $GL(3)$ ヴォロノイ和公式や中心 $L$-値の正値性仮定を避けて、$GL(2)$ 技法のみで凸性打破境界を達成できるか。
• RQ3 このような捩れた対称平方 $L$-関数に対して、$q^{\frac{3}{4}\ell - \delta_\ell + \varepsilon}$ の指数における最良の保存量 $\delta_\ell > 0$ は何か。
• RQ4 導手 $M_\chi = q\ell$（$\ell > 1$）の構造が、一般の場合に得られない、有利なキャンセルをシフトされた畳み込み和に与える仕組みは何か。
• RQ5 ペトロフの公式をクズネツォフの公式に置き換えることで、マッス形式にこの手法を適応できるか。また、その場合の境界はどのように変化するか。

主な発見

• 本稿は、非自己双対的次数3 $L$-関数において、レベル面で初の部分凸境界を確立した。$M_\chi = q^\ell$（$q$ は素数、$\ell > 1$）の下で、$L(1/2, \text{Sym}^2f \otimes \chi) \ll_{f,\ell,\varepsilon} q^{\frac{3}{4}\ell - \delta_\ell + \varepsilon}$（$\delta_\ell > 0$）が成り立ち、$q$ に依存しない。
• $\ell = 3$ の場合、$\delta_\ell = \frac{1}{4}$ であり、凸性境界に対して $q^{-1/4}$ の明確な保存量が得られる。
• 本手法は $GL(3)$ ヴォロノイ和公式や正値性仮定を避けており、代わりに $GL(2)$ スペクトル理論とモーメント法に依存するため、従来の手法よりもより素朴である。
• 主な革新点は、問題となるシフト畳み込み和を扱いやすいスペクトル和に変換できるように、より大きなレベル $M$ におけるヘッケ旧形式族を選択したことにある。
• 解析により、$q \mid c_{21}$ の場合、$L$-関数の導手が低下し、$\sqrt{q}$ の追加的保存量が得られることが判明した。これは最終的な境界を導く上で極めて重要である。
• 最終的な境界は $\mathcal{T}_{r,C}^\star \ll N(1 + N/q^{11/2})(Nq)^\varepsilon$ の形を取り、パラメータの最適化を経て、部分凸性が $\delta_\ell > 0$ を満たす形で確認された。