[論文レビュー] Bounds of Zagreb indices and hyper Zagreb indices

Shaohui Wang, Wei Gao+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2016

Graph theory and applications参考文献 22被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、頂点数、辺数、最小・最大次数、および第一 Zagreb 指数などのグラフパラメータを用いて、第一および第二ハイパーZagreb 指数の新たな上限および下限を確立する。Cauchy-Schwarz 不等式や Diaz-Metcalf 不等式を応用することで、タイトな境界を導出し、等号成立条件を同定する。その結果、等号が成り立つのはグラフが正則である場合に限ることを示し、化学的グラフ理論におけるトポロジカル指標の振る舞いとグラフの構造的性質を結びつける。

ABSTRACT

The hyper Zagreb index is a kind of extensions of Zagreb index, used for predicting physicochemical properties of organic compounds. Given a graph $G= (V(G), E(G))$, the first hyper-Zagreb index is the sum of the square of edge degree over edge set $E(G)$ and defined as $HM_1(G)=\sum_{e=uv\in E(G)}d(e)^2$, where $d(e)=d(u)+d(v)$ is the edge degree. In this work we define the second hyper-Zagreb index on the adjacent edges as $HM_2(G)=\sum_{e\sim f}d(e)d(f)$, where $e\sim f$ represents the adjacent edges of $G$. By inequalities, we explore some upper and lower bounds of these hyper-Zagreb indices, and provide the relation between Zagreb indices and hyper Zagreb indices.

研究の動機と目的

• 第一および第二ハイパーZagreb 指数の厳密な上限および下限を、基本的なグラフパラメータを用いて確立すること。
• 第一Zagreb 指数を通じて、Zagreb 指数とハイパーZagreb 指数の関係を調査すること。
• 導出された境界における等号成立条件を同定し、グラフの正則性に焦点を当てる。
• 再定式化されたZagreb 指数に関する既存の結果を拡張し、隣接辺次数に基づく新しい第二ハイパーZagreb 指数を導入し、その分析を行うこと。

提案手法

• 第一ハイパーZagreb 指数を $ HM_1(G) = \sum_{e=uv \in E(G)} d(e)^2 $ と定義し、ここで $ d(e) = d(u) + d(v) $ であり、第二ハイパーZagreb 指数を $ HM_2(G) = \sum_{e \sim f} d(e)d(f) $ と定義し、$ e \sim f $ は隣接する辺を表す。
• Cauchy-Schwarz 不等式を適用して、$ HM_1(G) \geq \frac{M_1(G)^2}{m} $ の境界を導出し、等号が成り立つのは辺次数が正則である場合に限る。
• 下限と上限 $ 2\delta \leq d(e) \leq 2\triangle $ を用いた Diaz-Metcalf 不等式を適用し、$ HM_1(G) \leq 2(\triangle + \delta)M_1(G) - 4m\triangle\delta $ の境界を導出し、等号が成り立つのは $ G $ が正則である場合に限る。
• 共通の頂点を持つ辺のペアの数 $ \frac{1}{2}M_1(G) - 2m $ を用いて $ HM_2(G) $ の境界を確立し、$ HM_2(G) $ を $ M_1(G) $ および次数パラメータに関連付ける不等式を適用する。
• AM-GM 不等式を用いて下限 $ HM_2(G) \geq \frac{M_1(G)^3}{2m^2} $ を導出し、等号が成り立つのは $ G $ が正則である場合に限る。
• 定理3と定理8の結果を組み合わせることで、$ HM_2(G) $ の合成された上限を $ M_1(G) $、$ m $、$ \delta $、$ \triangle $ の関数として得る。等号は正則性の下で成立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第一ハイパーZagreb 指数 $ HM_1(G) $ の、$ n $、$ m $、$ \delta $、$ \triangle $ に依存する、最もタイトな上限および下限は何か？
• RQ2 第二ハイパーZagreb 指数 $ HM_2(G) $ は第一Zagreb 指数 $ M_1(G) $ とどのように関係するのか？ また、その極値境界は何か？
• RQ3 $ HM_1(G) $ および $ HM_2(G) $ の導出された境界が等号に達するためのグラフ構造的条件は何か？
• RQ4 次数パラメータを含む不等式を用いて、Zagreb 指数とハイパーZagreb 指数の関係を形式化できるか？
• RQ5 グラフの正則性は、ハイパーZagreb 指数の極値値を達成する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 第一ハイパーZagreb 指数は $ \delta^2 \leq \frac{HM_1(G)}{4m} \leq \triangle^2 $ を満たし、左側の等号が成り立つのは $ G $ が $ \delta $-正則である場合に限る。右側の等号が成り立つのは $ G $ が $ \triangle $-正則である場合に限る。
• 境界 $ HM_1(G) \geq \frac{M_1(G)^2}{m} $ が成り立ち、等号が成り立つのは $ G $ が辺次数正則である場合に限る。
• 上限 $ HM_1(G) \leq 2(\triangle + \delta)M_1(G) - 4m\triangle\delta $ が確立され、等号が成り立つのは $ G $ が正則である場合に限る。
• 第二ハイパーZagreb 指数に関しては $ \delta^2 \leq \frac{HM_2(G)}{2(M_1(G) - 2m)} \leq \triangle^2 $ が成り立ち、等号が成り立つのは $ G $ が正則である場合に限る。
• 下限 $ HM_2(G) \geq \frac{M_1(G)^3}{2m^2} $ が導出され、等号が成り立つのは $ G $ が正則である場合に限る。
• 上限 $ HM_2(G) \leq \frac{1}{2}M_1(G)^2 - \delta(m-1)M_1(G) + \left(\delta - \frac{1}{2}\right)HM_1(G) $ が証明され、等号が成り立つのは $ G $ が正則である場合に限る。