[論文レビュー] Bounds on 2-torsion in class groups of number fields and integral points on elliptic curves

Manjul Bhargava, Arul Shankar+4 more|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、理想類構造と小規範数生成子、幾何的制約を結びつける新しい手法を用いて、$n > 2$ の次数の数体の類群における2-torsionに対する初めての非自明な境界を確立した。$\delta_n > 0$ に対して $h_2(K) = O_\epsilon(|\text{Disc}(K)|^{1/2 - \delta_n + \epsilon})$ を証明し、従来の境界を著しく改善し、2-Selmer群、楕円曲線および双曲的曲線のランク、$A_4$-四次体の数え上げに関するより強い推定値をもたらした。

ABSTRACT

We prove the first known nontrivial bounds on the sizes of the 2-torsion subgroups of the class groups of cubic and higher degree number fields $K$ (the trivial bound being $O_ε(|{ m Disc}(K)|^{1/2+ε})$ by Brauer--Siegel). This yields corresponding improvements to: 1) bounds of Brumer and Kramer on the sizes of 2-Selmer groups and ranks of elliptic curves; 2) bounds of Helfgott and Venkatesh on the number of integral points on elliptic curves; 3) bounds on the sizes of 2-Selmer groups and ranks of Jacobians of hyperelliptic curves; and 4) bounds of Baily and Wong on the number of $A_4$-quartic fields of bounded discriminant.

研究の動機と目的

• 次数 $n > 2$ の数体に対して、2-torsionにおける自明な $O_\epsilon(|\text{Disc}(K)|^{1/2+\epsilon})$ 界を打ち破ること。
• これらの境界を拡張し、2-Selmer群、ランク、楕円曲線および双曲的曲線の整数点に関する既存の推定値を改善すること。
• $A_4$-四次体および関連する数体族の数え上げ境界を精緻化すること。
• すべての次数 $n > 2$ に適用可能な一様な手法を、理想類構造と生成子の幾何的制約を用いて開発すること。

提案手法

• 各2-torsion理想類に対して、$I^2 = (\beta)$ かつ $|N(\beta)| \ll |\text{Disc}(K)|$ を満たし、$\beta$ の実数埋め込みがすべて同程度の大きさを取るような代表的理想 $I$ を構成する。
• 数の幾何とミンコフスキーの定理を用いて、このような生成子 $\beta$ の大きさを制御し、$K$ の判別式と結びつける。
• セドゥノヴァによる関数体版ボンビエリ–パイラ定理を応用し、有限体上の曲線のPicard群における2-torsion点の数を上界づけする。
• $H^0(C, 2E)^{\text{sq}}$ 内の平方因子の空間から $\text{Pic}^0(C)(k)[2]$ への上への写像を確立し、線形系統を用いた数え上げを可能にする。
• リーマン–ロッホの定理を用いて $H^0(C, 2E)$ の大きさを上界づけ、$g$ 次の曲線に対して $|H^0(C, 2E)| = |k|^{g+1}$ を得る。
• 関数体から数体への類似を活用し、理想内の小規範数元の構造を用いて、類群における2-torsionを上界づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次数 $n > 2$ の数体に対して、2-torsionにおける非自明な境界を確立することは可能か？ これは古典的なブラウアー–シーゲル境界 $O_\epsilon(|\text{Disc}(K)|^{1/2+\epsilon})$ を打ち破る。
• RQ2 類群における2-torsionの改善された境界は、2-Selmer群および楕円曲線・双曲的曲線のランクに関する推定値をどの程度改善できるか？
• RQ3 2次体における2-torsionの新規境界を用いて、判別式が $X$ 未満の $A_4$-四次体の数をよりきめ細かく上界づけられるか？
• RQ4 すべての次数 $n > 2$ に適用可能な一様な手法は存在するか？ これにより、2-torsionの類群における場合ごとの解析を回避できるか？
• RQ5 関数体の類似は、特に類群における2-torsionに対して、数体設定でより強い境界を証明するための指針を提供できるか？

主な発見

• 立方体および四次体に対して、類群における2-torsionは $h_2(K) = O_\epsilon(|\text{Disc}(K)|^{0.2784\ldots + \epsilon})$ を満たし、自明な $O_\epsilon(|\text{Disc}(K)|^{1/2+\epsilon})$ 界に対して顕著な改善である。
• 次数 $n > 4$ の数体に対して、境界は $h_2(K) = O_\epsilon(|\text{Disc}(K)|^{1/2 - \frac{1}{2n} + \epsilon})$ に改善され、$\delta_n = \frac{1}{2n} > 0$ である。
• 有理数体上の楕円曲線 $E$ の2-Selmer群は $|\text{Sel}_2(E)| = O_\epsilon(|\text{Disc}(E)|^{0.2784\ldots + \epsilon})$ を満たし、従来の境界を改善する。
• 楕円曲線 $E$ のランクは $\text{rank}(E) < c_\epsilon + (0.2784\ldots + \epsilon)\log_2(|\text{Disc}(E)|)$ を満たし、以前の $1/2 + \epsilon$ の指数を改善する。
• 楕円曲線上の整数点の数は、$O_\epsilon(|\text{Disc}(E)|^{0.1117\ldots + \epsilon})$ 未満であり、以前の $O_\epsilon(|\text{Disc}(E)|^{0.2007\ldots + \epsilon})$ の境界を改善する。
• 判別式が $X$ 未満の $A_4$-四次体の数は $O_\epsilon(X^{0.7784\ldots + \epsilon})$ 未満であり、以前の $O_\epsilon(X^{5/6 + \epsilon})$ の境界を改善する。