[論文レビュー] Bounds on Entropy

Dominic W. Berry, Barry C. Sanders|arXiv (Cornell University)|May 12, 2003

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、一般の凹性・凸性条件の下で、あるエントロピー測度の固定値が与えられたとき、別のエントロピー測度に対するきつい上限と下限を導出する。これらの境界は、古典的確率分布、混合量子状態、および純粋状態におけるもつれ測度に対して普遍的に適用可能であり、さまざまな情報理論的設定におけるエントロピーのトレードオフを正確に特徴づけることを可能にする。

ABSTRACT

We show how to determine the maximum and minimum possible values of one measure of entropy for a given value of another measure of entropy. These maximum and minimum values are obtained for two standard forms of probability distribution (or quantum state) independent of the entropy measures, provided the entropy measures satisfy a concavity/convexity relation. These results may be applied to entropies for classical probability distributions, entropies of mixed quantum states and measures of entanglement for pure states.

研究の動機と目的

• あるエントロピー測度の固定値が与えられたとき、別のエントロピー測度が取り得る最大および最小の値を特定すること。
• 特定のエントロピー測度に依存せずに、それらの間の凹性／凸性条件にのみ依存して境界を導出すること。
• 古典的情報理論、量子混合状態、および純粋量子状態におけるもつれに普遍的に適用可能な一般的なフレームワークを提供すること。
• 情報理論的および量子基礎問題におけるエントロピーのトレードオフを正確に定量化することを可能にすること。

提案手法

• エントロピー測度の凹性または凸性を活用して、固定制約下での極値を導出すること。
• 確率分布または量子状態の上での制約付き最適化問題として問題を定式化すること。
• 双対性および変分原理を用いて、境界に達する極値を示す構成を同定すること。
• 特定のエントロピー定義を仮定せずに、標準的な確率分布および量子状態の形に結果を適用すること。
• 必要な凹性／凸性条件が満たされる限り、特定のエントロピー測度の選択に依存しない境界を導出すること。
• 構造的一致性を通じて、古典的、量子的、もつれ関連の設定のすべてにおいてフレームワークを検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 あるエントロピー測度の固定値が与えられたとき、別のエントロピー測度の最もきつい上限および下限は何か？
• RQ2 これらの境界は、凹性や凸性といったエントロピー測度の構造的性質にどのように依存するか？
• RQ3 これらの境界は、古典的確率分布、混合量子状態、および純粋状態におけるもつれに普遍的に適用可能か？
• RQ4 極値エントロピー値を決定づける背後にある確率的または密度行列の構造は、果たしてどのような役割を果たすか？
• RQ5 導出された境界がきつくなる（達成可能になる）条件は何か？

主な発見

• あるエントロピー測度の固定値が与えられたとき、別のエントロピー測度の最大および最小値は、測度間の凹性／凸性関係にのみ依存して決定される。
• これらの境界は、特定のエントロピー定義にかかわらず、標準的な確率分布および量子状態に対して普遍的に有効である。
• 極値は、特定の識別可能な分布または状態の構成によって達成される。
• このフレームワークは、古典的エントロピー、混合量子状態のヴォイエンニン・ノイマンエントロピー、および純粋状態のもつれ測度に適用可能である。
• 最小限の仮定の下で、情報理論的系におけるエントロピーのトレードオフを完全に特徴づける結果を提供する。
• エントロピー測度が必要な凸性または凹性条件を満たす場合、境界はきつくなり、明示的に計算可能である。