[論文レビュー] Bounds on short character sums and L-functions for characters with a smooth modulus

William D. Banks, Igor E. Shparlinski|arXiv (Cornell University)|May 24, 2016

Analytic Number Theory Research参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、滑らかな法 $q = p^\gamma$ における原始的ディリクレ指標の短い特徴和およびディリクレ $L$-関数の新たな境界を、ポストニコフの手法とコロボフの指数和推定倣いの新奇な組み合わせによって確立する。主な結果は、$N \geq \exp\left((\log q)^{2/3+\varepsilon}\right)$ の範囲で特徴和に対して非自明な境界を与えることであり、これは $L(s,\chi)$ のより強い零点自由領域と、素数の短い等差数列における漸近公式の誤差項の改善をもたらす。

ABSTRACT

We combine a classical idea of Postnikov (1956) with the method of Korobov (1974) for estimating double Weyl sums, deriving new bounds on short character sums when the modulus $q$ has a small core $\prod_{p\mid q}p$. Using this estimate, we improve certain bounds of Gallagher (1972) and Iwaniec (1974) for the corresponding $L$-functions. In turn, this allows us to improve the error term in the asymptotic formula for primes in short arithmetic progressions modulo a power of a fixed prime. As yet another application of our bounds, we substantially extend the region free of Siegel zeros.

研究の動機と目的

• 核心が小さい法に対して既存の短い特徴和の境界を改善すること、特に法が素数のべきである場合に注目する。
• 特に零点自由領域の文脈において、$\Re(s)$ が 1 に近いときのディリクレ $L$-関数 $L(s,\chi)$ のより強い推定を導出すること。
• 法 $p^\gamma$ における短い等差数列内の素数個数の漸近公式における誤差項を精緻化すること。
• 滑らかな法の指標に関連するディリクレ $L$-関数のシーゲル零点のない領域を拡張すること。

提案手法

• 特徴和に対するポストニコフの手法と、多項式を含む二重ウェイリ和の推定に用いるコロボフの手法を組み合わせる。
• フォードによる明示的ヴァイノグラードフの平均値定理を適用し、累乗モーメント方程式系の解の個数を推定する。
• 特徴和の境界における指数を定義するために $N^\varrho = q$ を用いる。ここで $\varrho$ は和の長さが法に対して相対的にどの程度であるかを測る。
• 絶対定数 $A$, $\xi_0$, $\gamma_0$ を用いて、$N \geq \mathfrak{q}_{\sharp}^{\gamma_0}$ のとき非自明な境界 $S_\chi(M,N) \leq A N^{1 - \xi_0 / \varrho^2}$ を導出する。
• 改善された特徴和の境界を $L$-関数の推定に適用し、$\sigma > 1 - \vartheta$ の形の零点自由領域を確立する。ここで $\vartheta = \frac{a}{(\log x)^{2/3}(\log\log x)^{1/3}}$ である。
• 法 $q = rs$ で $r,s$ が互いに素である場合にも結果を拡張し、$s$ の $p$-進付値に関する条件を満たせば、主な境界の強さが保たれることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 核心が小さい法に対して、短い区間におけるバーガスの境界を改善できるか？
• RQ2 法 $p^\gamma$ における短い特徴和の境界 $S_\chi(M,N) \ll N^{1-\delta}$ の最適な指数は何か？
• RQ3 改善された特徴和の境界は、$\Re(s) \approx 1$ のとき $L(s,\chi)$ の零点自由領域にどのように影響を与えるか？
• RQ4 法 $p^\gamma$ における短い等差数列の素数定理の誤差項は、どの程度まで小さくできるか？
• RQ5 滑らかな法の指標に対して、シーゲル零点のない領域を著しく拡張できるか？

主な発見

• 本稿では、$N \geq \mathfrak{q}_{\sharp}^{\gamma_0}$ のとき、絶対定数 $A$, $\xi_0$, $\gamma_0$ を用いて非自明な境界 $S_\chi(M,N) \leq A N^{1 - \xi_0 / \varrho^2}$ を確立する。
• この境界は $N \geq \exp\left((\log q)^{2/3+\varepsilon}\right)$ で非自明であり、以前の閾値 $\exp\left((\log q)^{3/4+\varepsilon}\right)$ よりも改善されている。
• $L(s,\chi)$ の零点自由領域は $\sigma > 1 - \vartheta$ に拡張され、$\vartheta = \frac{a}{(\log x)^{2/3}(\log\log x)^{1/3}}$ である。これは以前の結果を著しく改善する。
• 関数 $\psi(x+h;q,a)$ の漸近公式における誤差項は、$\ll_{\varepsilon} \exp\left(-c_0 (\log x)^{1/3} (\log\log x)^{-1/3}\right)$ にまで小さくされ、ギャラガーおよびイワニエツの境界を上回る。
• 法 $q = rs$ で $r$ が小さい場合にも、$s$ の $p$-進付値に関する適切な条件を満たせば、境界の強さが保たれる。
• これらの結果は、すべての $p^\gamma$ を法とする原始的指標 $χ$ に対して、$|t| \leq q^C$ の範囲で $L(s,\chi)$ が $\sigma > 1 - \vartheta$ の領域に零点を持たないことを示唆する。