[論文レビュー] Bounds on the density of states and the spectral gap in CFT$_{2}$

Shouvik Ganguly, Sridip Pal|arXiv (Cornell University)|May 29, 2019

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、2次元ユニタリなモジュラー不変なCFTにおける状態密度のカーディ・公式のO(1)補正項の境界を、複素タウーバー型定理とバンド制限関数を用いて改善する。δ → 1⁻の極限において下界の最適性を証明し、c > 1に対して連続するバーラソ・プライマリー間の漸近的ギャップに1という予想された上界を確立する。これはモンスターCFTで実現され、CFTスペクトルにハダマール型のギャップが存在しないことを排除する。

ABSTRACT

We improve the recently discovered upper and lower bounds on the $O(1)$ correction to the Cardy formula for the density of states integrated over an energy window (of width $2δ$), centered at high energy in 2 dimensional conformal field theory. We prove optimality of the lower bound for $δ o 1^{-}$. We prove a conjectured upper bound on the asymptotic gap between two consecutive Virasoro primaries for a central charge greater than $1,$ demonstrating it to be $1.$ Furthermore, a systematic method is provided to establish a limit on how tight the bound on the $O(1)$ correction to the Cardy formula can be made using bandlimited functions. The techniques and the functions used here are of generic importance whenever the Tauberian theorems are used to estimate some physical quantities.

研究の動機と目的

• 2次元CFTにおける状態密度のカーディ・公式のO(1)補正項の上界と下界を改善すること。
• δ → 1⁻の極限において下界の最適性を証明すること。
• c > 1に対して連続するバーラソ・プライマリー間の漸近的ギャップに1という予想された上界を確立すること。
• バンド制限関数から得られる境界のタイトさを推定するための体系的な手法を開発すること。
• スフィアパッキング問題と、バンド制限関数を用いたO(1)補正項の下界を最適化する問題との関係を調査すること。

提案手法

• 高エネルギーにおける状態密度と分配関数のモジュラー性を結びつけるために、複素タウーバー型定理（特にインガムの定理）を用いる。
• フーリエ変換の台が有界なバンド制限関数を用い、O(1)補正項s(δ, Δ)の境界を導出する。これらを極値関数として扱う。
• バンド制限関数を用いた境界の理論的限界を示す「境界の境界」を導出する。
• 自己相関関数とパワースペクトル密度の正定値性を活用し、極値関数の形を制約する。
• 達成可能な境界と「境界の境界」を比較し、さらなる改善の可能性を評価する。
• モンスターCFTを飽和例として用い、スペクトルギャップ境界の最適性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元CFTにおいて、バンド制限関数を用いることで、カーディ・公式のO(1)補正項の境界をよりタイトにできるか？
• RQ2 連続するバーラソ・プライマリー間の漸近的ギャップに1という予想された上界は最適で、普遍的に達成可能か？
• RQ3 バンド制限関数に制限された場合に、O(1)補正項の境界の理論的限界のタイトさは何か？
• RQ4 スフィアパッキング問題は、O(1)補正項の下界を最適化する問題に意味のある類似性や制約を提供するか？
• RQ5 「境界の境界」は飽和可能か？ もし可能であれば、どのような条件下で成立するか？

主な発見

• δ → 1⁻の極限において、O(1)補正項の下界が最適であり、この値を超える改善は不可能であることが証明された。
• 連続するバーラソ・プライマリー間の漸近的ギャップに1という上界が最適であり、モンスターCFTで実現されている。
• バンド制限関数から導かれた「境界の境界」は、O(1)補正項の境界がどれほどタイトにできるかという理論的限界を示している。
• δ = 1のとき、達成可能な境界が「境界の境界」と一致し、飽和と最適性を示している。
• スフィアパッキング問題と、バンド制限関数を用いたO(1)補正項の上界を最小化する問題との間で、新しい関係が明らかになった。
• バンド制限の制約を緩和しても、より良い境界は得られず、この制約なしでもδ → 1⁻における下界の最適性が保証されることを示した。