[論文レビュー] Bounds on the distance between a unital quantum channel and the convex hull of unitary channels, with applications to the asymptotic quantum Birkhoff conjecture

Nengkun Yu, Runyao Duan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2012

Quantum Information and Cryptography参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、量子情報および作用素代数の技法を用いて、ユニタリ量子チャネルとユニタリチャネルの凸包との間の距離の下界を確立する。d ≥ 4 のとき、ユニタリでないシューアチャネルがユニタリチャネルの凸結合として分解できないことが示され、これにより漸近的量子バーキョフ予想（AQBC）の明示的反例が得られる。

ABSTRACT

Motivated by the recent resolution of Asymptotic Quantum Birkhoff Conjecture (AQBC), we attempt to estimate the distance between a given unital quantum channel and the convex hull of unitary channels. We provide two lower bounds on this distance by employing techniques from quantum information and operator algebras, respectively. We then show how to apply these results to construct some explicit counterexamples to AQBC. We also point out an interesting connection between the Grothendieck's inequality and AQBC.

研究の動機と目的

• 漸近的量子バーキョフ予想（AQBC）の妥当性を検討すること。AQBCは、任意のユニタリ量子チャネルのテンソル積が、ユニタリチャネルの凸結合によって任意に良く近似可能であると主張する。
• 特に高次元系において、ユニタリ量子チャネルとユニタリチャネルの凸包との間の距離を定量化すること。
• d ≥ 4 に対して、ユニタリチャネルの凸結合として表現できないユニタリチャネル（特にシューアチャネル）を同定することで、AQBCの明示的反例を構成すること。
• シューア乗数およびその作用素ノルムの性質が、ユニタリチャネルの近似においてどのようにユニタリチャネルの構造を決定するかを明確にすること。

提案手法

• 量子情報理論および作用素空間論の技法を用いて、ユニタリチャネルの凸包との間のダイアモンドノルム距離に対する2つの下界を導出する。
• グロテンディークの不等式を適用し、シューア乗数のノルムと、シューアチャネルがユニタリ対角チャネルの凸包のK倍の範囲内に収まる最小の定数Kとの関係を確立する。
• すべてのユニタリシューアチャネルが $ \text{L}(\text{H}_d) $ 上で $ K \times \text{Conv}(\text{D}_d^+) $ に含まれる最小のKを $ K_{d,1}^{+} $ と定義する。ここで $ \text{D}_d^+ $ はユニタリ対角チャネルの集合である。
• $ K_{d,1}^{+} = K_d^{+} $ を証明し、シューア乗数定数 $ K_d^{+} $ がユニタリチャネルの凸結合によるユニタリシューアチャネルの近似を支配することを示す。
• $ d \to \infty $ のとき $ K_d^{+} \to \text{const} \times \text{log}\thinspace d $ という漸近的成長を用いて、 $ d \to 4 $ のとき $ K_d^{+} > 1 $ であることを示し、厳密包含の失敗を示す。
• $ d \to 4 $ のとき、ユニタリチャネルの凸包に属さないシューアチャネルを同定することで、AQBCの明示的反例を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のユニタリ量子チャネルは、複数回のチャネル利用の漸近的極限において、ユニタリチャネルの凸結合によって任意に良く近似可能か？
• RQ2 ユニタリ量子チャネルとユニタリチャネルの凸包との間の最小距離（ダイアモンドノルムで）は何か？ そして、系の次元dとともにどのようにスケーリングされるか？
• RQ3 ユニタリシューアチャネルのうち、ユニタリチャネルの凸結合として表現できないものは存在するか？ もしあるならば、どの次元dでそれが成立するか？
• RQ4 グロテンディーク定数は、ユニタリチャネルの構造およびユニタリチャネルによる近似にどのように関係するか？
• RQ5 すべてのユニタリシューアチャネルが $ K_d $ 倍のユニタリ対角チャネルの凸包に含まれる最小の定数 $ K_d $ の正確な値は何か？

主な発見

• すべての $ d \to 4 $ に対して、ユニタリチャネルの凸結合として表現できないユニタリシューアチャネルが存在する。これは $ K_{d,1}^{+} = K_d^{+} > 1 $ であることから、$ d \to 4 $ のとき $ \text{Conv}(\text{D}_d^+) \ni \text{シューアチャネル} $ の包含関係が厳密であることを示している。
• 定数 $ K_d^{+} $ は、ある普遍定数 $ \beta $ を用いて $ \beta \text{log}\thinspace d \to K_d^{+} \to \beta \text{log}\thinspace d $ を満たし、$ d \to \infty $ のとき $ K_d^{+} \to \text{const} \times \text{log}\thinspace d $ であることが示される。
• $ K_d^{+} > 1 $ となる最小の整数 $ d $ は $ d = 4 $ であり、$ d \to 3 $ のとき $ K_d^{+} = 1 $ であるため、$ d \to 3 $ のとき $ \text{Conv}(\text{D}_d^+) \ni \text{シューアチャネル} $ の包含関係は等式となる。
• すべての $ d \to 4 $ に対して、漸近的量子バーキョフ予想（AQBC）の明示的反例が存在する。これは、このようなチャネルが漸近的領域でユニタリチャネルの凸結合によって近似できないことによる。
• 本結果により、グロテンディークの不等式とAQBCとの直接的な関係が確立され、グロテンディーク定数 $ K_G $ が漸近的領域における近似誤差を制御することが示された。
• 本稿は、$ d \to 4 $ のとき、ユニタリシューアチャネルの集合がユニタリチャネルの凸包よりも真に大きいことを確認し、AQBCを一般に反証した。