[論文レビュー] Bounds on the dynamics and entanglement in a periodic quantum walks

N. Pradeep Kumar, Radhakrishna Balu+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、パラメータ $ heta_1$ および $ heta_2$ を用いた時間依存コイン操作を用いた周期的離散時間量子ウォークを調査する。解析的および数値的に、ウォークの分散が単一パラメータウォークの分散の最小値によって上限付けられること、$ \sigma_{\theta_1,\theta_2}(t) = \min\{\sigma_{\theta_1}(t), \sigma_{\theta_2}(t)\}$ を示し、この上限をより高周期およびスプリットステップ量子ウォークへと拡張する。研究では、非ゼロ $ \theta$ に対しても非自明な干渉効果が動的挙動に現れることを明らかにし、非相対論的設定でも質量なしディラック方程式が回復可能であることを示し、コイン空間と位置空間間のエンタングルメントを分析する。

ABSTRACT

We study the dynamics of discrete-time quantum walk using quantum coin operations, $\hat{C}( heta_1)$ and $\hat{C}( heta_2)$ in time dependent periodic sequence. For two-period quantum walk with the parameters $ heta_1$ and $ heta_2$ in the coin operations we show that the standard deviation ($\sigma_{ heta_1, heta_2} (t)$) is same as the minimum of standard deviation obtained from one of the one-period quantum walk with coin operations $ heta_1$ or $ heta_2$, $\sigma_{ heta_1, heta_2}(t) = \min \{\sigma_{ heta_1}(t), \sigma_{ heta_2}(t) \}$. Our numerical result is analytically corroborated using the dispersion relation obtained from the continuum limit of the dynamics. Using the dispersion relation for one- and two-period quantum walk, we present the bounds on the dynamics of three- and higher period quantum walks. We also show that the bounds for the two-period quantum walk will hold good for the split-step quantum walk which is also defined using two coin operators using $ heta_1$ and $ heta_2$. Unlike the previous known connection of discrete-time quantum walks with the massless Dirac equation where coin parameter $ heta=0$, here we show the recovery of massless Dirac equation with non-zero $ heta$ parameters contributing to the intriguing interference in the dynamics in a totally non-relativistic situation. We also present the effect of periodic sequence on the entanglement between coin and position space.

研究の動機と目的

• 時間周期的コイン操作を用いた離散時間量子ウォークの動的挙動を理解すること。
• 二周期量子ウォークにおける位置分布の標準偏差の解析的上限を導出すること。
• これらの上限をより高周期量子ウォークおよびスプリットステップ量子ウォークモデルに拡張すること。
• 非ゼロ $\n\theta$ パrameter を有する非相対論的量子ウォークフレームワークにおいて、相対論的類似の動的挙動（例：質量なしディラック方程式）がどのように出現するかを調査すること。
• 周期的コインシーケンス下でのコイン自由度と位置自由度の間のエンタングルメントを分析すること。

提案手法

• 時間依存コイン操作 $\hat{C}(\theta_1)$ および $\hat{C}(\theta_2)$ を交互に適用する二周期量子ウォークの形式化。
• ウォークの時間発展の連続極限から分散関係を導出し、漸近的挙動を分析する。
• 得られた分散関係を用いて、二周期ウォークにおける標準偏差 $\sigma_{\theta_1,\theta_2}(t)$ の上限を確立する。
• 二周期ケースからの解析的外挿を用いて、三周期およびより高周期量子ウォークへの上限の拡張。
• 二つの異なるコイン演算子を逐次用いるスプリットステップ量子ウォークに対しても、同じ枠組みを適用する。
• コインおよび位置ヒルベルト空間間のエンタングルメントエントロピーを分析し、周期的コインシーケンスが誘導する量子相関を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二周期量子ウォークの標準偏差は、コインパラメータ $\theta_1$ および $\theta_2$ にどのように依存するか？
• RQ2 高周期量子ウォークの動的挙動は、その構成要素となる一周期ウォークの動的挙動を用いて上限付け可能か？
• RQ3 非ゼロ $\theta$ パrameter を有する離散時間量子ウォークにおいて、質量なしディラック方程式がどのような条件下で出現するか？
• RQ4 周期的コイン操作シーケンスは、コイン自由度と位置自由度の間のエンタングルメントにどのように影響を与えるか？
• RQ5 相対論的対称性が欠如するにもかかわらず、$\theta \neq 0$ の場合に、ウォークの動的挙動における干渉効果がどの程度持続するか？

主な発見

• 二周期量子ウォークの標準偏差は、個々の単一周期ウォークの標準偏差の最小値によって上限付けられる：$\sigma_{\theta_1,\theta_2}(t) = \min\{\sigma_{\theta_1}(t), \sigma_{\theta_2}(t)\}$。
• この上限は、ウォークの時間発展の連続極限から導出された分散関係を用いて解析的に確認された。
• 二周期動的挙動の上限は、解析的接続を用いて三周期およびより高周期量子ウォークへと拡張された。
• 二つの異なるコイン演算子を用いるスプリットステップ量子ウォークは、二周期ウォークと同一の標準偏差上限を満たす。
• 非ゼロ $\theta_1$ および $\theta_2$ に対しても、連続極限において質量なしディラック方程式が回復され、非相対論的フレームワーク内でも非自明な干渉効果が存在することが示された。
• 周期的コイン操作シーケンスは、コイン空間と位置空間間のエンタングルメントを変調し、量子相関のチューナブルな制御を示している。