[論文レビュー] Bounds on the maximum multiplicity of some common geometric graphs

Adrian Dumitrescu, André Schulz+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2010

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 35被引用数 37

ひとこと要約

本稿では、一般位置にあるn点上の非交差幾何グラフ（三角形分割、スパニングツリー、完全マッチング、スパニングサイクルなど）の最大数に対する新たな下界と上界を確立する。一般化されたダブルチェーン構成を導入することで、三角形分割の下界をΩ(8.65ⁿ)、非交差スパニングツリーの下界をΩ(12.00ⁿ)に改善し、最近の三角形分割の上限を用いて非交差スパニングサイクルの上界をO(68.62ⁿ)に導出する。また、最短および最長の非交差巡回路、マッチング、スパニングツリーは、いずれも指数関数的に多数存在しうることを示し、凸点集合における最長巡回路をO(n log n)時間で計算するアルゴリズムも提示する。

ABSTRACT

We obtain new lower and upper bounds for the maximum multiplicity of some weighted and, respectively, non-weighted common geometric graphs drawn on n points in the plane in general position (with no three points collinear): perfect matchings, spanning trees, spanning cycles (tours), and triangulations. (i) We present a new lower bound construction for the maximum number of triangulations a set of n points in general position can have. In particular, we show that a generalized double chain formed by two almost convex chains admits Ω(8.65^n) different triangulations. This improves the bound Ω(8.48^n) achieved by the double zig-zag chain configuration studied by Aichholzer et al. (ii) We present a new lower bound of Ω(12.00^n) for the number of non-crossing spanning trees of the double chain composed of two convex chains. The previous bound, Ω(10.42^n), stood unchanged for more than 10 years. (iii) Using a recent upper bound of 30^n for the number of triangulations, due to Sharir and Sheffer, we show that n points in the plane in general position admit at most O(68.62^n) non-crossing spanning cycles. (iv) We derive lower bounds for the number of maximum and minimum weighted geometric graphs (matchings, spanning trees, and tours). We show that the number of shortest non-crossing tours can be exponential in n. Likewise, we show that both the number of longest non-crossing tours and the number of longest non-crossing perfect matchings can be exponential in n. Moreover, we show that there are sets of n points in convex position with an exponential number of longest non-crossing spanning trees. For points in convex position we obtain tight bounds for the number of longest and shortest tours. We give a combinatorial characterization of the longest tours, which leads to an O(nlog n) time algorithm for computing them.

研究の動機と目的

• 一般位置にあるn点上における非交差幾何グラフ（特に三角形分割、スパニングツリー、完全マッチング）の最大数に対する下界を改善すること。
• 既知の三角形分割に関する境界を用いて、非交差スパニングサイクルの数に対するより鋭い上界を導出すること。
• 重み付き幾何グラフの多重性を調査すること。これには、最短および最長の非交差巡回路、マッチング、スパニングツリーが含まれる。
• 凸点集合上での最長非交差巡回路を効率的に計算するアルゴリズムを提供すること。

提案手法

• 二つのほぼ凸なチェーンから成る一般化されたダブルチェーンの構築により、従来のダブルジグザグチェーンよりも多くの三角形分割を達成すること。
• 凸点集合におけるエッジのスパンと回転対称性の分析により、最長非交差巡回路を列挙すること。
• SharirとShefferの三角形分割に関するO(30ⁿ)の上界を応用し、非交差スパニングサイクルの上界をO(68.62ⁿ)に導出すること。
• 最長巡回路の組合せ的特徴付けを用いて、凸点集合上でのO(n log n)時間アルゴリズムを設計すること。
• ピーコンの原理を用いた背理法により、最長巡回路における特定のエッジ配置を除外すること。
• 回転対称性とエッジ交換を活用し、循環順序が与えられた場合にO(n)時間ですべての最長巡回路を効率的に列挙すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般位置にあるn点上の三角形分割の数はΩ(8.48ⁿ)を上回る可能性があるか。もしそうならば、どの程度上回るのか？
• RQ2 n点の集合上で非交差スパニングツリーとして可能な最大数は何か。また、Ω(10.42ⁿ)を上回る改善は可能か？
• RQ3 現在の三角形分割に関する知識を踏まえると、非交差スパニングサイクルの数に対する最も鋭い上界は何か？
• RQ4 一般位置にある点集合に対して、最短および最長の非交差幾何グラフ（マッチング、スパニングツリー、巡回路）はそれぞれどれほど存在しうるか？
• RQ5 一般位置にある点集合上で最長非交差スパニング巡回路を計算することは、NP困難か？

主な発見

• 一般化されたダブルチェーン構成により、Ω(8.65ⁿ)の三角形分割が得られ、従来のダブルジグザグチェーンによる最良下界Ω(8.48ⁿ)を上回る。
• 二つの凸チェーンから成るダブルチェーンは、Ω(12.00ⁿ)の非交差スパニングツリーをサポートし、以前の下界Ω(10.42ⁿ)を上回る。
• n点上での非交差スパニングサイクルの数は、最大でO(68.62ⁿ)であることが示され、これは三角形分割のO(30ⁿ)上界から導出された。
• 最短および最長の非交差巡回路の数は、一般位置にある点集合に対しても、いずれもnの指数関数的になる。
• 点が凸位置にある場合、すべての最長非交差巡回路はO(n log n)時間で計算可能であり、循環順序が与えられていればO(n)時間のアルゴリズムも利用可能である。
• 最長巡回路の組合せ的特徴付けを用いることで、凸点集合上での最長巡回路をO(n log n)時間で計算するアルゴリズムが可能となる。