[論文レビュー] Bounds on the minimum-error discrimination between mixed quantum states

Daowen Qiu, Lvjun Li|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2008

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 4被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、任意のm個の混合量子状態を識別する最小誤差確率に関する新たな下界を確立し、その達成可能性の必要十分条件を提示する。さらに、二状態識別に成立する $ Q_U \geq 2Q_E $ の関係が、二つ以上の状態に拡張されないことを示し、二状態と多状態の量子状態識別における根本的な違いを明らかにする。

ABSTRACT

The minimum-error probability of ambiguous discrimination for two quantum states is the well-known {\it Helstrom limit} presented in 1976. Since then, it has been thought of as an intractable problem to obtain the minimum-error probability for ambiguously discriminating arbitrary $m$ quantum states. In this paper, we obtain a new lower bound on the minimum-error probability for ambiguous discrimination and compare this bound with six other bounds in the literature. Moreover, we show that the bound between ambiguous and unambiguous discrimination does not extend to ensembles of more than two states. Specifically, the main technical contributions are described as follows: (1) We derive a new lower bound on the minimum-error probability for ambiguous discrimination among arbitrary $m$ mixed quantum states with given prior probabilities, and we present a necessary and sufficient condition to show that this lower bound is attainable. (2) We compare this new lower bound with six other bounds in the literature in detail, and, in some cases, this bound is optimal. (3) It is known that if $m=2$, the optimal inconclusive probability of unambiguous discrimination $Q_{U}$ and the minimum-error probability of ambiguous discrimination $Q_{E}$ between arbitrary given $m$ mixed quantum states have the relationship $Q_{U}\geq 2Q_{E}$. In this paper, we show that, however, if $m>2$, the relationship $Q_{U}\geq 2Q_{E}$ may not hold again in general, and there may be no supremum of $Q_{U}/Q_{E}$ for more than two states, which may also reflect an essential difference between discrimination for two-states and multi-states. (4) A number of examples are constructed.

研究の動機と目的

• 与えられた事前確率のもとで、m個の任意の混合量子状態のあいまいな識別における最小誤差確率の新たな下界を導出すること。
• この下界が達成可能な際の必要十分条件を確立すること。
• 文献に既存の六つの下界と比較し、そのきつさと最適性を評価すること。
• 既知の二状態における非あいまい識別確率 $ Q_U $ と最小誤差確率 $ Q_E $ の関係 $ Q_U \geq 2Q_E $ が、二つ以上の状態の集合へと拡張されるかを調査すること。
• m > 2 である量子状態集合の例を構築し、下界の挙動と $ Q_U \geq 2Q_E $ 不等式の破綻を示す。

提案手法

• 凸最適化技法と量子測定理論を用いて、最小誤差確率の新たな下界を導出する。
• 密度行列と事前確率の構造に基づき、下界のきつさに関する必要十分条件を定式化する。
• 解析的および数値的手法を用いて、新しい下界と六つの既存の下界を詳細に比較する。
• m > 2 における非あいまい識別確率 $ Q_U $ と最小誤差確率 $ Q_E $ の関係を分析し、反例を用いて $ Q_U \geq 2Q_E $ の一般化が成り立たないことを反証する。
• m > 2 である量子状態集合の明示的例を構築し、理論的結果と下界の挙動を図示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 m個の任意の混合量子状態を識別する最小誤差確率に対する、最もきつい可能な下界は何か？
• RQ2 この新しい下界がどのような条件下で達成可能か？
• RQ3 文献に既存の六つの既知の下界と比較して、新しい下界はどの程度きついか？
• RQ4 二状態における非あいまい識別と最小誤差識別の間で成立する $ Q_U \geq 2Q_E $ の不等式は、二つ以上の状態の集合に対しても成り立つか？
• RQ5 m > 2 のとき、比 $ Q_U / Q_E $ に有限の上界が存在するか？

主な発見

• 提示された下界は、複数のテストケースにおいて既存の下界と同等またはよりきつく、特定の設定では最適である。
• この新しい下界が達成可能な際の必要十分条件が導出され、そのきつさに関する明確な基準が得られた。
• 二状態識別に成立する $ Q_U \geq 2Q_E $ の関係は、一般に m > 2 の量子状態集合では成立しない。
• m > 2 の場合、比 $ Q_U / Q_E $ は任意に大きくとれるため、有限の上界は存在せず、これは二状態と多状態識別の間の根本的な違いを示している。
• 構築された複数の例は、理論的結果を確認しており、特に多状態状況における $ Q_U \geq 2Q_E $ 不等式の不成立を強く支持している。