[論文レビュー] Bounds on the number and sizes of conjugacy classes in finite Chevalley groups with Applications to Derangements

Jason Fulman, Robert M. Guralnick|ArXiv.org|Feb 13, 2009

Finite Group Theory Research参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、有限Chevalley群における共役類の数およびそのサイズについて、明示的で一様な上界を確立し、共役類の数 $k(G^F)$ が $27.2q^r$ 以下であり、$q \to \infty$ のとき $q^r$ に収束することを証明している。半単純およびユニポテンツ類についてもきめ細かい上界が得られている。これらの結果により、有限単純群の原始的置換作用における固定点のない元（derangements）の割合に関するBoston-Shalev予想の強い形が解決された。

ABSTRACT

We present explicit upper bounds for the number and size of conjugacy classes in finite Chevalley groups and their variations. These results have been used by many authors to study zeta functions associated to representations of finite simple groups, random walks on Chevalley groups, the final solution to the Ore conjecture about commutators in finite simple groups and other similar problems. In this paper, we solve a strong version of the Boston-Shalev conjecture on derangements in simple groups for most of the families of primitive permutation group representations of finite simple groups (the remaining cases are settled in two other papers of the authors and applications are given in a third).

研究の動機と目的

• 有限Chevalley群における共役類の数およびそのサイズについて、ランクに依存しない明示的で一様な上界を導出すること。
• 有限単純群の原始的置換作用における固定点のない元の割合に関するBoston-Shalev予想の強い形を解決すること。
• Zeta関数、ランダムウォーク、交換子論、Lie型有限群の表現論への応用に役立つツールを提供すること。
• 任意の外部自己同型をもつほとんど単純群へと上界を拡張し、すべての種類の群拡大を含むこと。
• 特に固定点のない元の文脈において、最大部分群がほとんど単純群における共役類の総数にどの程度寄与するかを分析すること。

提案手法

• Lusztigのユニポテンツ類および字面層理論を用いて、有限Chevalley群における共役類の数を上界で制御すること。
• Steinbergのテンソル積定理および表現論を応用し、ほとんど単純群の最大部分群を分類すること。
• 表現型および体構造に基づいて最大部分群を4つの族 $\mathcal{S}_1$ から $\mathcal{S}_4$ に分解すること。
• ランク依存の成長上界および指数的推定を用いて、各族における共役類の数を上界で制御すること。
• 定理6.15を用いて共役類数と中心化部分群のサイズの上界を組み合わせ、$G$ における最大部分群の測度を制御すること。
• 母関数および漸近的解析を用いて、$q \to \infty$ のときの $k(G^F)/q^r$ の一様収束結果を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限Chevalley群 $G^F$ が $mathbb{F}_q$ 上のランク $r$ をもつとき、その共役類の数に対する明示的で一様な上界は何か？
• RQ2 $q \to \infty$ のとき、有限Chevalley群における共役類の数およびサイズはどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ3 ほとんど単純群の最大部分群が総共役類数にどの程度寄与するか、そしてその寄与は一様に上界で抑えられるか？
• RQ4 共役類数の上界を用いて、原始的作用における固定点のない元の割合に関するBoston-Shalev予想を強い形で証明できるか？
• RQ5 古典的および例外的Chevalley群における $k(G^F)$ の正確な成長率は何か？また、$q^r$ と比べてどうなるか？

主な発見

• 有限Chevalley群 $G^F$ が $mathbb{F}_q$ 上のランク $r$ をもつとき、共役類の数 $k(G^F)$ は $k(G^F) \leq 27.2q^r$ を満たし、多くの族では $15.2q^r$ というよりきつい上界が得られている。
• $q \to \infty$ のとき、$k(G^F)/q^r \to 1$ が $r$ に依存せずに一様に成り立ち、この収束は $k(G^F) \leq q^r + 68q^{r-1}$ で定量的に抑えられている。
• $G^F$ における非半単純な共役類の数は $68q^{r-1}$ 以下であり、$q$ が十分に大きいとき、ほとんどすべての共役類が半単純であることが示された。
• ソクラルがランク $r$ のChevalley群であるほとんど単純群 $G$ に対して、$k(S) \leq 15.2q^r$ および $k(G) \leq 100q^r$ が成り立ち、外部自己同型の寄与についても明示的な上界が得られている。
• $\mathcal{S}_i(G)$ の各族に属するすべての最大部分群の和集合は、$G$ の元のうち無視できる割合を占める：$\mathcal{S}_3$ では $O(q^{-r/3})$、$\mathcal{S}_4$ では $O(q^{-r/2})$、$\mathcal{S}_2$ では $O(r^4(1+\log_q r)/q^{r-1})$ である。
• 固定点のない元に関するBoston-Shalev予想は強い形で証明された：原始的作用における固定点のない元の割合は、一様にゼロから離れており、共役類推定に基づいて導かれた上界が得られている。