[論文レビュー] Bounds on the number of integer points in a polytope via concentration estimates

Austin Shapiro|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2010

Point processes and geometric inequalities参考文献 12被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、整数点をサンプリングする最大エントロピー確率変数の集中度を分析することにより、多面体内の整数点の数に対する計算が容易な上界を提供する。確率論および組合せ論の道具を用いて、やや緩い条件下で、多面体が $ n $ 個の不等式と $ m $ 個の等式で定義される場合、この確率変数が多面体内に位置する確率が $ O(n^{-m/2}) $ に減少することを確立する。

ABSTRACT

It is generally hard to count, or even estimate, how many integer points lie in a polytope P. Barvinok and Hartigan have approached the problem by way of information theory, showing how to efficiently compute a random vector which samples the integer points of P with (computable) constant mass, but which may also land outside P. Thus, to count the integer points of P, it suffices to determine the frequency with which the random vector falls in P. We prove a collection of efficiently computable upper bounds on this frequency. We also show that if P is suitably presented by n linear inequalities and m linear equations (m fixed), then under mild conditions separating the expected value of the above random vector from the origin, the frequency with which it falls in P is O(n^{-m/2}) as n -> infinity. As in the classical Littlewood-Offord problem, all results in the paper are obtained by bounding the point concentration of a sum of independent random variables; we sketch connections to previous work on the subject.

研究の動機と目的

• 整数点の数え上げがNP困難であることが知られている多面体内の整数点の数の計算の難しさに対処すること。
• 最大エントロピー確率変数が多面体内に落ちる確率を制限することで、既存のサンプリングに基づく手法を改善すること。
• 集中度の測度技術を用いて、多面体内の整数点の数に対する計算が容易な上界を提供すること。
• 等式制約の次元が固定されたもとで、不等式の数を増やした際のサンプリング確率の漸近的減少率を確立すること。

提案手法

• 多面体 $ P $ の平均が含まれるよう制約された、独立な幾何分布に従う座標をもつ最大エントロピー確率変数 $ X $ を用いる。
• 整数点の数を $ |P \cap \mathbb{Z}^n| = e^{H(X)} \cdot \mathbb{P}[X \in P] $ として表現し、問題を $ \mathbb{P}[X \in P] $ の上界を求める問題に還元する。
• 集中度の測度技術を用いて $ \text{conc}(AX) $ を上界付け、$ \mathbb{P}[X \in P] $ を上界付ける。なぜなら $ \mathbb{P}[AX = \mathbf{b}] = \mathbb{P}[X \in P] $ であるから。
• 積の鎖の幅および対数凸列に関する結果を用いて、独立な確率変数の和の点集中度を上界付ける。
• ライアプノフの中心極限定理およびホイットニー数の性質を用いて、離散一様変数の和の漸近的近似を得る。
• 幾何分布変数の混合表現を用い、離散一様変数の重ね合わせに関する結果を応用して集中度を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的サンプリング手法を用いて、多面体内の整数点の数をどのように効率的に上界付けることができるか？
• RQ2 等式制約の数 $ m $ が固定されたもとで、不等式の数 $ n $ が増加する際、サンプリング確率 $ \mathbb{P}[X \in P] $ の減少率はどのようになるか？
• RQ3 独立な確率変数の和の点集中度推定値を用いて、多面体内の整数点の数に対するタイトな上界を導出できるか？
• RQ4 どのような条件下で、確率変数 $ X $ の集中度が $ O(n^{-m/2}) $ に減少し、その定量的確立はどのように行えるか？
• RQ5 最大エントロピー分布のエントロピーと多面体の幾何的性質が、整数点の数にどのように共同で影響を与えるか？

主な発見

• 多面体 $ P $ 内の整数点の数は、$ |P \cap \mathbb{Z}^n| \leq e^{H(X)} \cdot \text{conc}(AX) $ で上界付けられる。ここで $ H(X) $ は最大エントロピーサンプリング分布のエントロピーである。
• 不等式が $ n $ 個、等式が $ m $ 個（$ m $ は固定）で定義される多面体に対して、やや緩い分離条件のもとで、$ \mathbb{P}[X \in P] = O(n^{-m/2}) $ が $ n \to \infty $ のとき成り立つ。
• 明示的な上界として、$ |P \cap \mathbb{Z}^n| \leq e^{H(X)} \cdot \min_{\text{basis}} \prod_{i=1}^m \frac{1}{z_{j_i} + 1} $ が与えられる。ここで $ z_{j_i} $ は幾何成分の平均である。
• 行列 $ A $ が整数成分を持ち、列が $ p $ 個のブロックに分けられ、各ブロックが $ m $ 個の一次独立なベクトルからなるとき、上界は $ |P \cap \mathbb{Z}^n| \leq e^{H(X)} \left( C p^{-m/2} + (C')^p \right) $ に簡略化される。ここで $ C > 0 $、$ C' < 1 $ は定数である。
• 積の鎖の幅および対数凸列を用いて、独立な幾何分布または離散一様確率変数の和の集中度が上界付けられ、中心極限定理に類似した近似が得られる。
• 各 $ N_j $ 点で一様に分布する $ p $ 個のi.i.d.離散一様変数の和の漸近的集中度は、$ \sim \left( \frac{\pi}{6} \sum_{j=1}^p (N_j^2 - 1) \right)^{-1/2} $ のように振る舞うことが示され、これが主な減少率の導出に用いられる。