[論文レビュー] Bounds on the Number of Longest Common Subsequences

Ronald I. Greenberg|ArXiv.org|Jan 28, 2003

Algorithms and Data Compression参考文献 22被引用数 9

ひとこと要約

本論文は、2つの列における異なる最長共通部分列（LCS）およびLCS埋め込みの数について、タイトな漸近的上限を確立し、出力サイズに比例する時間でこれらの出力を生成する効率的なアルゴリズムが、単純なバックトラッキング手法よりも著しくスケーラブルであることを示している。主な結果は、入力長が等しい場合、単純なアルゴリズムの最悪ケースのオーバーヘッドがΘ(4ⁿ/√n)に達する可能性があることである。これは、最適化された列挙手法の必要性を強調している。

ABSTRACT

This paper performs the analysis necessary to bound the running time of known, efficient algorithms for generating all longest common subsequences. That is, we bound the running time as a function of input size for algorithms with time essentially proportional to the output size. This paper considers both the case of computing all distinct LCSs and the case of computing all LCS embeddings. Also included is an analysis of how much better the efficient algorithms are than the standard method of generating LCS embeddings. A full analysis is carried out with running times measured as a function of the total number of input characters, and much of the analysis is also provided for cases in which the two input sequences are of the same specified length or of two independently specified lengths.

研究の動機と目的

• 入力サイズの関数として、すべての異なる最長共通部分列（LCS）を生成する際の最悪ケース時間計算量を定量化すること。
• 単純な列挙戦略における、重複を含むLCS埋め込みの最大数を上限づけること。
• 重複を生成する可能性がある単純なバックトラッキング手法と、出力に敏感な効率的アルゴリズムの効率を比較すること。
• LCS列挙タスクにおいて、単純なアプローチよりも最適化されたアルゴリズムを使用する理論的根拠を提供すること。

提案手法

• 長さを3で割った剰余に基づく、交互に現れる文字パターンを持つ列を用いて、異なるLCS数の下界を導出する。
• 交差補題を用いて、異なる初期文字を持つ異なるLCSにおける埋め込みは、互いに交差しなければならないことを証明し、これにより出力サイズの再帰的上限が得られる。
• 入力列の総長に関する帰納法を用いて、異なるLCS数の上界D(t) ≤ 4^(t/5)を確立する。
• 正規化された時間解析を導入し、動的計画法のバックトラック経路を通じて、二項係数との関係でLCS埋め込み数を上限づける。
• 単純なバックトラッキングの最悪ケースのオーバーヘッドを、真の出力サイズと比較することで分析し、組合せ的恒等式と漸近的近似を用いる。
• C(n+m, m)の恒等式を用いて、単純列挙の最悪ケース時間計算量を表現し、中心二項係数の形で上限を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 総長tの2つの列に対して、可能な異なるLCSの最大数は何か？
• RQ2 単純なバックトラッキングアルゴリズムが生成できるLCS埋め込み（重複を含む）の最大数は何か？
• RQ3 単純なLCS埋め込み列挙の最悪ケース時間計算量は、出力に敏感なアルゴリズムと比べてどれほど悪いか？
• RQ4 等長の列に対して、単純な手法の最悪ケースオーバーヘッドは真の出力サイズに対して漸近的にどの程度か？
• RQ5 二項係数のような組合せ的構造を用いて、単純LCS列挙の最悪ケース性能を上限づけることができるか？

主な発見

• 総長tの2つの列に対して、異なるLCSの最大数は、4^(t/5) < 1.32^t で上界づけられ、tが6の倍数の場合は3^(t/6)で下界づけられる。
• 単純なバックトラッキングによって生成されるLCS埋め込み数（重複を含む）は、長さnの2つの列に対して最大Θ(4ⁿ/√n)に達するが、真の出力サイズは最悪ケースでO(1)である場合がある。
• 総長tの列に対して、単純列挙の最悪ケースオーバーヘッドはΘ(2^t / √t)であり、tとともに指数的に増加する。
• 交差補題により、異なる初期文字を持つ異なるLCSにおける埋め込みは、互いに交差しなければならないことが証明され、これにより出力サイズの再帰的分解と上限が可能になる。
• 出力サイズに比例する時間ですべての異なるLCSやすべての埋め込みを生成する効率的アルゴリズムは、同じ埋め込みを指数的回数報告する可能性がある単純な手法よりも、漸近的に優れている。
• 単純なバックトラッキングの最悪ケースオーバーヘッドはΘ(C(2n, n)) = Θ(4^n / √n)であり、これがその非効率性の主因である。