[論文レビュー] Bounds on the Number of Mass Points of the Capacity Achieving Distribution of the Amplitude Constraint Poisson Noise Channel.

Alex Dytso, Luca Barletta+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2021

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ひとこと要約

この論文は、振幅制約付きポアソン雑音チャネルにおける容量を達成する入力分布における質量点の数について、より鋭い上限と下限を確立する。振幅制約を表す $Α$ に対して、上限が $Α \log^2(\u0391)$ のオーダー、下限が $Α^{1/2}$ のオーダーであることを証明し、最適分布が有限個の点を持つ離散分布であるという先行知識を精緻化する。

ABSTRACT

This work considers a Poisson noise channel with an amplitude constraint. It is well-known that the capacity-achieving input distribution for this channel is discrete with finitely many points. We sharpen this result by introducing upper and lower bounds on the number of mass points. In particular, the upper bound of order $\mathsf{A} \log^2(\mathsf{A})$ and lower bound of order $\sqrt{\mathsf{A}}$ are established where $\mathsf{A}$ is the constraint on the input amplitude. In addition, along the way, we show several other properties of the capacity and capacity-achieving distribution. For example, it is shown that the capacity is equal to $ - \log P_{Y^\star}(0)$ where $P_{Y^\star}$ is the optimal output distribution. Moreover, an upper bound on the values of the probability masses of the capacity-achieving distribution and a lower bound on the probability of the largest mass point are established.

研究の動機と目的

• 振幅制約付きポアソン雑音チャネルにおける容量を達成する入力分布の構造をより深く理解すること。
• この分布における質量点の数のより鋭い上限と下限を特定すること。
• 容量および最適入力・出力分布の主要な性質を特徴づけること。

提案手法

• 情報理論的解析とポアソンチャネルの性質を用いて、質量点の数に対する上限を導出する。
• 最適入力分布の構造的制約を通じて、質量点の数に対する下限を確立する。
• チャネル容量が $-\log P_{Y^\star}(0)$ に等しいことを証明する。ここで $P_{Y^\star}$ は最適出力分布を表す。
• 容量を達成する分布の確率質量に対する上限と下限を導出する。
• 変分法および極値的手法を用いて、入力分布の最適性条件を分析する。
• 対数および漸近的近似を適用し、振幅制約 $Α$ に対して質量点の数の増加率を特徴づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 振幅制約付きポアソンチャネルにおける容量を達成する入力分布における質量点の数の最も鋭い上限は何か？
• RQ2 同様に、質量点の数の最も鋭い下限は何か？
• RQ3 チャネル容量は、最適分布下での出力がゼロである確率とどのように関係しているか？
• RQ4 容量を達成する入力分布における確率質量の大きさにどのような制約があるか？
• RQ5 質量点の数は振幅制約 $Α$ に対してどのようにスケーリングするか？

主な発見

• 容量を達成する入力分布における質量点の数は、上限が $\u0391 \log^2(\u0391)$ で抑えられる。
• 質量点の数は下限が $\sqrt{\u0391}$ で抑えられる。
• チャネル容量は、$P_{Y^\star}$ を最適出力分布とするとき、正確に $-\log P_{Y^\star}(0)$ に等しい。
• 容量を達成する入力分布の確率質量は上界で抑えられており、特定の一点が分布を支配することはない。
• 容量を達成する分布における最大の質量点の確率は、$Α$ の正の関数によって下界で抑えられる。
• 質量点の数の漸近的増加率は、$Α^{1/2}$ と $Α \log^2(\u0391)$ の間であり、かつ、有限個の点を持つという先行知識を精緻化する。