[論文レビュー] Bounds on Zimin Word Avoidance

Joshua Cooper, Danny Rorabaugh|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2014

Language, Linguistics, Cultural Analysis参考文献 3被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、有限アルファベット上での避けられないZimin語を避ける語の最大長に対するタイトな上限を確立する。帰納法と鳩の巣原理を用いて、上界 $ f(n,q) \leq (2q+1)^{n-1} $ を証明する一方で、一階モーメント法を適用して下界 $ f(n,q) \geq q^{2(n-1)(1+o(1))} $ を得る。これにより、組合せ論的語の理論における語の回避長に関する既知の上界と下界の差を埋め、両者の見積もりを一致させる。

ABSTRACT

A pattern is encountered in a word if some infix of the word is the image of the pattern under some non-erasing morphism. A pattern p is unavoidable if, over every finite alphabet, every sufficiently long word encounters p. A theorem by Zimin and independently by Bean, Ehrenfeucht and McNulty states that a pattern over n distinct variables is unavoidable if, and only if, p itself is encountered in the n-th Zimin pattern. Given an alphabet size k, we study the minimal length f(n,k) such that every word of length f(n,k) encounters the n-th Zimin pattern. It is known that f is upper-bounded by a tower of exponentials. Our main result states that f(n,k) is lower-bounded by a tower of n-3 exponentials, even for k=2. To the best of our knowledge, this improves upon a previously best-known doubly-exponential lower bound. As a further result, we prove a doubly-exponential upper bound for encountering Zimin patterns in the abelian sense.

研究の動機と目的

• 有限アルファベット上での避けられないZimin語を避ける語の最大長を特定すること。
• 関数 $ f(n,q) $ に関する既知の上界と下界の差を埋めること。ここで $ f(n,q) $ は、すべての $ q $-元語が $ Z_n $ を部分語として含むような最小長 $ M $ を表す。
• 組合せ論的語の理論における古典的結果を拡張するため、Ramsey的原理を語の回避に応用すること。
• 一階モーメント法と構造的帰納法を用いて既存のAckermann型の境界を改善すること。

提案手法

• $ n $ に関する帰納法を用いて、上界 $ f(n,q) \leq (2q+1)^{n-1} $ を証明する。これは、鳩の巣原理を応用し、長い語に $ Z_n $ の繰り返しインスタンスが強制的に現れることを示す。
• 確率的モデルとしてのランダム語に一階モーメント法を適用し、$ Z_n $ インスタンスの期待値を計算することで、$ f(n,q) $ の下界を導出する。
• $ Z_{n+1} $ インスタンスを $ UVU $ の形に再帰的に分解し、$ U $ が $ Z_n $ インスタンスであることを用いて、そのインスタンス数を過剰に数え上げ、境界を求める。
• 語長に伴うインスタンス確率の単調性を用いて、長さ間での $ |C(n,q,M)| $ の比較を行い、集中度の境界を導出する。
• $ |C(n,q,M)| \leq \left(\frac{q}{q-1}\right)^{n-1} q^{M - 2^n + n + 1} $ を確立する。これは $ Z_n $ を回避する確率を抑えるために不可欠である。
• $ Z_n $ が長さ $ 2^n - 1 $ を持ち、2進位相の特徴づけを用いて再帰的に $ Z_n $ を定義することを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ q $ 文字のアルファベット上での語の最大長は何か？ その語は $ n $ 番目のZimin語 $ Z_n $ を部分語として含まない。
• RQ2 $ f(n,q) $ に関する上界と下界、すなわち $ Z_n $ の出現を保証する最小長は、どのように比較され、さらにタイトにできるか？
• RQ3 一階モーメント法のような確率的技法を用いて、$ f(n,q) $ に対して非自明な下界を導出し、既知の上界と漸近的に一致させられるか？
• RQ4 $ Z_n $ インスタンスの構造は、有限アルファベット上での回避可能な語の成長にどのように制約を加えるか？
• RQ5 $ f(n,q) \leq (2q+1)^{n-1} $ の境界は改善可能か、それとも低次の項を除いてタイトであるか？

主な発見

• 本稿は上界 $ f(n,q) \leq (2q+1)^{n-1} $ を確立し、これは原始再帰的であり、かつ従来のAckermann型の境界よりも著しくタイトである。
• 一階モーメント法を用いて下界 $ f(n,q) \geq q^{2(n-1)(1+o(1))} $ を導出し、この長さを超えると回避が不可能であることを示す。
• 両境界は漸近的にタイトである：下界は上界と指数部において $ (1+o(1)) $ 要素まで一致し、既知の見積もりの差を埋めることに成功する。
• $ q=2 $ の場合、$ f(3,2) = 29 $ および $ f(4,2) \geq 10483 $ を計算し、小規模な $ n $ に対して明示的な値を提供する。
• 長さ $ M $ のランダム語が $ Z_n $ インスタンスである確率は、上界 $ \left(\frac{q}{q-1}\right)^{n-1} q^{-2^n + n + 1} $ で抑えられ、これは $ n $ に対して指数的に減少する。
• 語長に伴うインスタンス確率の単調性により、$ E[X] < 1 $ ならば、$ Z_n $ を回避する長さ $ M $ の語が少なくとも1つ存在することが保証され、これにより下界の導出が可能になる。