[論文レビュー] Bowditch's JSJ tree and the quasi-isometry classification of certain Coxeter groups, with an appendix written jointly with Christopher Cashen

Pallavi Dani, Anne Thomas|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 53被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、非共(compact)フクシア型でない2次元で1端付きの双曲的右角コクセター群のクラスに対して、ボーディッチのJSJツリーの視覚的でアルゴリズム的な構成を提供する。この群は、2端付き部分群への分解を許容する。ツリーの構造を定義するグラフΓのグラフ論的特徴（例：カットペアや分離性）と直接結びつけることで、このクラスにおいてJSJツリーが完全な準等長不変量であることが示され、準等長問題の決定可能性が得られる。主な貢献は、Γにおける明示的な組合せ的条件によってJSJツリーの計算可能で視覚的な特徴付けがなされたことである。

ABSTRACT

Bowditch's JSJ tree for splittings over 2-ended subgroups is a quasi-isometry invariant for 1-ended hyperbolic groups which are not cocompact Fuchsian. Our main result gives an explicit, computable "visual" construction of this tree for certain hyperbolic right-angled Coxeter groups. As an application of our construction we identify a large class of such groups for which the JSJ tree, and hence the visual boundary, is a complete quasi-isometry invariant, and thus the quasi-isometry problem is decidable. We also give a direct proof of the fact that among the Coxeter groups we consider, the cocompact Fuchsian groups form a rigid quasi-isometry class. In an appendix, written jointly with Christopher Cashen, we show that the JSJ tree is not a complete quasi-isometry invariant for the entire class of Coxeter groups we consider.

研究の動機と目的

• 特定のクラスの右角コクセター群に対して、ボーディッチのJSJツリーの視覚的でアルゴリズム的な構成を提供すること。
• このクラスにおいてJSJツリーが完全な準等長不変量であることを示し、準等長問題の決定可能性を達成すること。
• 共(compact)フクシア型コクセター群がこのクラス内での剛性を持つ準等長クラスを形成することを証明すること。
• この論文で考察されたコクセター群の全クラスに対してJSJツリーが完全な不変量でないことを、付録で反例を用いて示すこと。

提案手法

• 定義する三角形を含まないグラフΓのグラフ論的性質、特にカットペアと分離性に着目して、JSJツリーを構成する。
• JSJツリーにおける頂点および辺の安定化子を、WΓの特別な部分群（例：無限大二面体群や対合の自由積）の共共役に結びつける。
• デイヴィス複体の境界構造と視覚的境界∂WΓを用いて、局所的カット点とツリーの頂点との対応を分析する。
• ラフォンとパパソグルの準等長写像と境界の位相同相写像に関する技術を応用し、境界分解空間への誘導写像を分析する。
• 境界におけるホワイトヘッドグラフとカット集合を用いて、分解空間の位相的不変量を用いて準等長型を区別する。
• 分解空間における最小カット集合のサイズが位相同相不変量であることを示し、Wn+1とWm+1がn = mである場合にのみ準等長であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特定の右角コクセター群に対して、ボーディッチのJSJツリーを定義するグラフΓから明示的かつ視覚的に構成可能か？
• RQ2 非共(compact)フクシア型でない2次元で1端付きの双曲的右角コクセター群のクラスにおいて、JSJツリーは完全な準等長不変量か？
• RQ3 Γにカットペアが存在することは、WΓにおける2端付き部分群への非自明な分解に対応するか？
• RQ4 このようなコクセター群の準等長型は、アルゴリズム的に決定可能か？
• RQ5 この論文で考察されたコクセター群の全クラスに対してJSJツリーは完全な不変量か、それとも例外があるか？

主な発見

• WΓのJSJツリーは、定義するグラフΓによって視覚的に決定される：その頂点と辺は、明示的なグラフ論的条件を満たすΓの頂点部分集合に対応する。
• 所定の仮定を満たす群に対して、WΓのJSJツリーを計算するアルゴリズムが存在し、構成が完全に計算可能である。
• 指定されたコクセター群のクラスにおいて、JSJツリーは完全な準等長不変量であり、準等長問題の決定可能性を示唆する。
• 共(compact)フクシア型コクセター群は、剛性を持つ準等長クラスを形成しており、自分自身にしか準等長でない。
• 付録で反例を用いて、考察されたコクセター群の全クラスに対してJSJツリーは完全な不変量でないことが示された。同型でない群が同じJSJツリーを持つ例が存在する。
• 自由群Fnの境界分解空間における最小カット集合のサイズは、位相同相不変量であり、n ≠ mのときWn+1とWm+1を区別でき、この場合の非準等長性を示している。