[論文レビュー] Box-counting dimension of solution curves for a class of two-dimensional nonautonomous linear differential systems

Masakazu Onitsuka, Satoshi Tanaka|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2017

Mathematical Control Systems and Analysis被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非斉次2次元線形微分方程式系 $ x' = y $, $ y' = -x - h(t)y $ の解曲線のボックス次元を、漸近的安定性を保証する条件下で特定する。減衰係数 $ h(t) \sim \alpha t^{-1} $ の場合、次元は $ \frac{2}{1+\alpha} $ であると示し、$ h(t) $ が有界である場合には次元が 1 であると示しており、原点に近づく渦巻き型軌道の正確なフラクタル的特徴付けを提供する。

ABSTRACT

A class of two-dimensional linear differential systems is considered. The box-counting dimension of the graphs of solution curves is calculated. Criteria to obtain the box-counting dimension of spirals are also established.

研究の動機と目的

• 2次元非斉次線形微分方程式系の解曲線のボックス次元を特定すること。
• 時間変動する減衰を伴う減衰線形振動子から生じる渦巻き型軌道のフラクタル幾何学的性質を分析すること。
• 解曲線の次元を決定する要件を、減衰係数 $ h(t) $ の漸近的挙動に基づいて確立すること。
• 既存の可微分性および吸引性に関する結果を、フラクタル次元解析を含むものに拡張すること。

提案手法

• 系を極座標 $ x = r(t)\cos\theta(t) $, $ y = r(t)\sin\theta(t) $ に変換し、半径および角度の動的挙動を分析する。
• 特に $ h(t) \sim \alpha t^{-1} $ であることに着目し、$ r(t) $ および $ \theta(t) $ の推定を導出する。
• $ \eta(t) = -\theta(t) $ とし、新しい関数 $ f(\varphi) = r(\eta^{-1}(\varphi)) $ を定義して、解曲線を角度 $ \varphi $ による再パrametrization する。
• 特に命題1.1および命題1.2を応用し、既知のスパイラル曲線のボックス次元に関する結果を用いて、$ f(\varphi) $ の減衰率に基づき次元を計算する。
• $ |f'(\varphi)| $ および $ \varphi f(\varphi) $ の上限を確立し、次元公式の条件を検証する。
• 符号変更に関する対称性および不変性を用い、$ \Gamma_{(x,y;t_1)} $ の次元を変換された曲線 $ \Gamma $ と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自明な解をもつ系 $ x' = y $, $ y' = -x - h(t)y $ の解曲線 $ \Gamma_{(x,y;t_1)} $ のボックス次元は何か？
• RQ2 ボックス次元は減衰係数 $ h(t) $ の漸近的挙動にどのように依存するか？
• RQ3 解曲線が原点に収束する渦巻き型軌道であり、かつボックス次元が1より大きい有限次元であるための条件は何か？
• RQ4 $ t \to \infty $ のとき $ h(t) \sim \alpha t^{-1} $ である場合、次元を正確に計算できるか？
• RQ5 $ h(t) $ が減衰しないが有界な場合、次元は何か？ これはべき則的減衰の場合とどのように異なるか？

主な発見

• $ h(t) \sim \alpha t^{-1} $ かつ $ \alpha > 0 $ の場合、解曲線 $ \Gamma_{(x,y;t_1)} $ のボックス次元は $ \frac{2}{1+\alpha} $ である。
• $ h(t) $ が有界であり、かつ $ \int_{t_0}^\infty e^{-H(t)/2} dt = \infty $ である場合、解曲線のボックス次元は1である。
• 次元 $ \frac{2}{1+\alpha} $ は、$ r(t) \sim C t^{-1} $ および $ |\theta(t)| \sim \alpha \log t $ のとき実現され、これはゆっくりとした渦巻きに対応する。
• 定理Aの仮定を満たすすべての非自明な解に対して、この結果は成り立つ。これには吸引性および渦巻き回転の性質が含まれる。
• 次元は $ y $ の符号反転に対して不変であるため、$ \dim_B \Gamma_{(x,y;t_1)} = \dim_B \Gamma_{(x,-y;t_1)} $ が成り立つ。
• 解析により、$ h(t) $ の減衰率がフラクタル次元に顕著に影響することを確認した。減衰が遅いほど次元は高くなる。