[論文レビュー] Box-counting fractal strings, zeta functions, and equivalent forms of Minkowski dimension

Michel L. Lapidus, John A. Rock+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 23被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、ユークリッド空間内の有界集合のミンコフスキー次元を特徴付けるために、ボックスカウント・フラクタルストリングとボックスカウント・ゼータ関数を導入する。ボックスカウント・ゼータ関数の収束の横座標が上位ボックスカウント次元に等しいことを確立し、ミンコフスキー次元の複数の定義を統一するとともに、任意の有界集合への複素次元理論の拡張を実現する。

ABSTRACT

We discuss a number of techniques for determining the Minkowski dimension of bounded subsets of some Euclidean space of any dimension, including: the box-counting dimension and equivalent definitions based on various box-counting functions; the similarity dimension via the Moran equation (at least in the case of self-similar sets); the order of the (box-)counting function; the classic result on compact subsets of the real line due to Besicovitch and Taylor, as adapted to the theory of fractal strings; and the abscissae of convergence of new classes of zeta functions. Specifically, we define box-counting zeta functions of infinite bounded subsets of Euclidean space and discuss results pertaining to distance and tube zeta functions. Appealing to an analysis of these zeta functions allows for the development of theories of complex dimensions for bounded sets in Euclidean space, extending techniques and results regarding (ordinary) fractal strings obtained by the first author and van Frankenhuijsen.

研究の動機と目的

• ユークリッド空間の有界部分集合に対する既存のミンコフスキー次元の定義を統一・一般化すること。
• ボックスカウント・ゼータ関数を用いて、任意の有界集合に対する複素次元理論を構築すること。
• 古典的な自己相似集合に限らない、一般の有界集合へとフラクタルストリングおよび複素次元の枠組みを拡張すること。
• ゼータ関数（ボックスカウント、距離、チューブ）とミンコフスキー内容および可測性を結びつけること。
• 複素次元を用いたフレームワークを用いて、フレームタルチューブ公式および漸近的体積近似に関する未解決問題を提起すること。

提案手法

• 半径 ε⁻¹ の球で集合を被覆することから得られる区間の集合として、ボックスカウント・フラクタルストリングを定義する。
• ボックスカウント・フラクタルストリングに含まれる区間の長さ r_j に対して、ζ_B(s) = ∑ r_j^s で定義されるボックスカウント・ゼータ関数を導入する。
• ζ_B(s) の収束の横座標が、集合の上位ボックスカウント次元に等しいことを確立する。
• 先行研究（例：[17]）で導入された距離関数およびチューブ関数との関係を明らかにする。
• メロモルフィックな拡張のゼータ関数の極として定義される複素次元の理論を用い、ミンコフスキー内容および可測性を分析する。
• フラクタルストリング理論（例：[19]）の結果を応用し、高次元集合に対しても類似の結果を導出する。特に、フレームタルチューブ公式を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 R^m 内の有界集合のミンコフスキー次元は、ゼータ関数の収束の横座標を用いてどのように特徴付けられるか？
• RQ2 ボックスカウント・ゼータ関数と距離関数・チューブ関数などの他のゼータ関数との関係は何か？
• RQ3 距離ゼータ関数の複素次元を用いて、一般の有界集合に対してフレームタルチューブ公式を導出できるか？
• RQ4 ボックスカウント・ゼータ関数の複素次元が、ミンコフスキー内容の漸近的挙動を決定する条件は何か？
• RQ5 集合の ε-近傍の体積 |A_ε| は、そのゼータ関数の留数および複素次元を用いてどのように表現できるか？

主な発見

• ボックスカウント・ゼータ関数 ζ_B(s) の収束の横座標は、集合 A の上位ボックスカウント次元に等しい。
• 上位ボックスカウント次元、上位ミンコフスキー次元、およびボックスカウント・フラクタルストリングのカウント関数の成長のオーダーは、すべて同値である。
• 距離ゼータ関数 ζ_d(s) の収束の横座標も、集合 A の上位ミンコフスキー次元に等しい。
• 距離ゼータ関数の複素次元は、集合 A のミンコフスキー内容および可測性と関連している。
• チューブゼータ関数 ζ_t(s) 及びその複素次元は、高次元におけるフレームタルチューブ公式を導くための枠組みを提供する。
• 未解決問題により、適切な成長条件の下で、集合 A の ε-近傍の体積 |A_ε| が、ゼータ関数の留数の和（誤差項を除く）として漸近的に表現可能であると示唆されている。