[論文レビュー] Box Covers and Domain Orderings for Beyond Worst-Case Join Processing

Kaleb Alway, Eric Blais+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、最適解に多項対数因子の範囲内で収まる証明サイズを持つボックスカバーを生成する近線形時間アルゴリズムGAMBと、ボックスカバーと証明サイズを最小化するドメイン順序付けの近似アルゴリズムADORAを提案する。Tetrisと組み合わせることで、得られるTetrisReorderedアルゴリズムは、無限のクエリ族において、最悪ケースを超える性能が無限に向上する。これは、最適なドメイン順序付けとコンパクトなボックスカバーを活用することで、先行研究の境界を著しく改善する。

ABSTRACT

Recent beyond worst-case optimal join algorithms Minesweeper and its generalization Tetris have brought the theory of indexing and join processing together by developing a geometric framework for joins. These algorithms take as input an index $\mathcal{B}$, referred to as a box cover, that stores output gaps that can be inferred from traditional indexes, such as B+ trees or tries, on the input relations. The performances of these algorithms highly depend on the certificate of $\mathcal{B}$, which is the smallest subset of gaps in $\mathcal{B}$ whose union covers all of the gaps in the output space of a query $Q$. We study how to generate box covers that contain small size certificates to guarantee efficient runtimes for these algorithms. First, given a query $Q$ over a set of relations of size $N$ and a fixed set of domain orderings for the attributes, we give a $ ilde{O}(N)$-time algorithm called GAMB which generates a box cover for $Q$ that is guaranteed to contain the smallest size certificate across any box cover for $Q$. Second, we show that finding a domain ordering to minimize the box cover size and certificate is NP-hard through a reduction from the 2 consecutive block minimization problem on boolean matrices. Our third contribution is a $ ilde{O}(N)$-time approximation algorithm called ADORA to compute domain orderings, under which one can compute a box cover of size $ ilde{O}(K^r)$, where $K$ is the minimum box cover for $Q$ under any domain ordering and $r$ is the maximum arity of any relation. This guarantees certificates of size $ ilde{O}(K^r)$. We combine ADORA and GAMB with Tetris to form a new algorithm we call TetrisReordered, which provides several new beyond worst-case bounds. On infinite families of queries, TetrisReordered's runtimes are unboundedly better than the bounds stated in prior work.

研究の動機と目的

• 任意の結合クエリに対して、理論的最小値に近い証明サイズを持つボックスカバーを生成する効率的なアルゴリズムの開発。
• ドメイン順序付けがボックスカバーと証明サイズに与える影響を調査し、これらのサイズを最小化する順序付けを同定すること。
• コンパクトなボックスカバーと証明を生成するドメイン順序付けを計算する実用的で近線形時間のアルゴリズムの設計。
• これらの技術をTetrisアルゴリズムと組み合わせ、最悪ケースを超える実行時間境界の改善を達成すること。

提案手法

• 入力関係から最大の二項ギャップボックスをすべて抽出するeO(N)-時間アルゴリズムGAMBを提案し、グローバルに良いボックスカバーを構築する。
• GAMBが生成するボックスカバーの証明サイズが、すべてのボックスカバーの中で最小の証明サイズに対してeO(1)要因の範囲内にあることを証明する。
• 任意の順序付け下でボックスカバーサイズと証明サイズを最小化する近似アルゴリズムADORAを導入する。
• ADORAの順序付け下で、ボックスカバーサイズがeO(Kr)、証明サイズがeO(Kr)であることを示す。ここでKは任意の順序付け下での最小ボックスカバーサイズ、rは関係の最大アリティである。
• ADORA、GAMB、Tetrisを統合し、最適なドメイン順序付けとコンパクトな証明を活用して性能を向上させるTetrisReorderedという新しいアルゴリズムを構築する。
• ボolea行列における2連続ブロック最小化問題への還元を用いて、ドメイン順序付け下でのボックスカバーと証明サイズの最小化がNP困難であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボックスカバーを近線形時間で生成でき、その証明サイズが最適解の多項対数因子の範囲内に収まるか？
• RQ2 ボックスカバーと証明サイズを最小化するドメイン順序付けを見つける問題はNP困難か？
• RQ3 コンパクトなボックスカバーと証明を生成するドメイン順序付けを計算する効率的な近似アルゴリズムを設計可能か？
• RQ4 ドメインの再順序付けと最適なボックスカバーの使用により、最悪ケースを超える結合アルゴリズムでどの程度の性能向上が達成できるか？
• RQ5 Tetrisのような高度な結合アルゴリズムと最適なドメイン順序付けを組み合わせた場合、性能向上の理論的限界は何か？

主な発見

• GAMBはeO(N)時間でボックスカバーを生成し、その証明サイズがeO(C□(Q))である。ここでC□(Q)はすべての可能なボックスカバーにおける最小証明サイズである。
• ボックスカバーと証明サイズを最小化する最適なドメイン順序付けを見つける問題は、ブール行列における2連続ブロック最小化問題への還元によりNP困難であることが示された。
• ADORAはeO(N)時間でドメイン順序付けを計算し、その結果得られるボックスカバーサイズがeO(Kr)、証明サイズがeO(Kr)となる。ここでKは任意の順序付け下での最小ボックスカバーサイズ、rは関係の最大アリティである。
• ADORA、GAMB、Tetrisを統合したTetrisReorderedは、無限のクエリ族において、先行研究のTetris境界よりも無限に優れた実行時間を達成する。
• 構築されたクエリ族においてパディングビットの数が増加するにつれ、TetrisReorderedと従来のTetrisバージョンとの間の性能差が無限に拡大する。これは、最適なドメイン順序付けの理論的・実用的意義を示している。
• 本稿では、最小証明サイズ問題の二進ボックス版の近似困難性が未解決のまま残っており、一般ボックスと二進ボックスの間には複雑さの面で顕著な差が存在する可能性があると示している。