[論文レビュー] Box dimension of unit-time map near nilpotent singularity of planar vector field

Lana Horvat Dmitrović, Vesna Županović|arXiv (Cornell University)|May 24, 2012

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、平面上のベクトル場におけるノンモノドロミックな冪等特異点の近傍で、単位時間写像によって生成される離散軌道のボックス次元を、正規形と漸近解析を用いて調査する。特異点の弱い鞍部の位数 $k$ と双対リプシッツ定数に関連して、有限および無限遠の特異点における分離子上の軌道の正確なボックス次元値 — 特に $\dim_B S(v_1) = 1 - \frac{1}{2k}$ — を導出する。

ABSTRACT

The connection between discrete and continuous dynamical systems through the unit-time map has shown a significant role in bifurcation theory. Recently, it has also been used in fractal analysis of bifurcations. We study fractal properties of the unit-time map near nilpotent nonmonodromic singularities of planar vector fields using normal forms. We are interested in nilpotent singularities because they are nonhyperbolic, and we know that near nonhyperbolic singularities the box dimension is nontrivial. We study discrete orbits generated by the unit-time map, on the separatrices at the bifurcation point, and get results for the box dimensions of these orbits. Box dimension results will be illustrated in details using the examples of Bogdanov-Takens bifurcation and bifurcation of the nilpotent saddle. The study is also been extended to the appropriate singular points at infinity of normal form for the nilpotent singularity. Moreover, we study the unit-time map of the normal form for a saddle, near singular points at infinity.

研究の動機と目的

• 平面上のベクトル場におけるノンモノドロミックな冪等特異点の近傍で生成される離散軌道のフラクタル性質を分析すること。
• 従来の双曲性が成立しない非双曲的・冪等特異点へのボックス次元の応用を拡張すること。
• ポincareコンパクト化と正規形を用いて、無限遠の特異点におけるボックス次元の振る舞いを調査すること。
• 双対リプシッツ定数を通じて、軌道のボックス次元と弱い鞍部の位数 $k$ の間の関係を確立すること。
• ボックス次元が、ハウスドルフ次元とは異なり、非モノドロミックな場合に分岐構造に敏感であることを示すこと。

提案手法

• 非モノドロミックな場合を含め、冪等特異点の近傍でベクトル場を単純化するために正規形を用いる。
• 連続的ダイナミクスと離散的軌道を結ぶために、単位時間写像（時間1写像）を適用し、フラクタル解析を可能にする。
• 無限遠の特異点近傍での単位時間写像の近似に、漸近展開とピカール反復を適用する。
• 軌道をべき則螺旋 $r = \varphi^{-\alpha}$ に類似させるために、双曲的座標系に変換する。このタイプの螺旋のボックス次元は既知である。
• トリコのボックス次元の公式（非可微分螺旋用）：$\dim_B \Gamma = \frac{2}{1 + \alpha}$ を、双曲的軌道に適応する。
• コンパクト化された系における $v$-軸の軌道を分析し、単位時間写像の漸近的挙動 $v - v^{2k}$ を用いてボックス次元を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノンモノドロミックな冪等特異点の近傍における分離子上での単位時間写像軌道のボックス次元は何か？
• RQ2 弱い鞍部特異点の無限遠におけるボックス次元は、最初に消えない双対リプシッツ定数の位数 $k$ にどのように依存するか？
• RQ3 離散的軌道のボックス次元は、非双曲的平面系における異なる分岐状況を区別できるか？
• RQ4 無限遠の特異点近傍における単位時間写像の振る舞いは何か？ どのようなフラクタル的性質が生じるか？
• RQ5 ボックス次元と元のベクトル場のサイクル性または安定性特性との間に構造的関係があるか？

主な発見

• 無限遠の特異点近傍における $v$-軸上での単位時間写像軌道のボックス次元は、$\dim_B S(v_1) = 1 - \frac{1}{2k}$ であり、$k$ は弱い鞍部の位数を表す。
• $k=1$ の場合、ボックス次元は $\frac{1}{2}$ である。$k=2$ の場合、$\frac{3}{4}$ に増加し、弱い鞍部の位数に直接依存することが示された。
• 無限遠の弱い鞍部近傍における単位時間写像は、漸近的に $v - v^{2k}$ と同等であり、これが軌道のフラクタル的スケーリングを決定する。
• ボックス次元は非自明で双対リプシッツ定数に敏感であるが、双曲的ケースでは自明であった。
• 結果は、ボックス次元が、無限遠を含む非モノドロミック・冪等特異点における分岐構造を検出できることを確認した。
• Poincaréコンパクト化と座標変換を用いることで、この手法は無限遠の特異点に対してもフラクタル解析を成功裏に拡張した。