[論文レビュー] Box splines and the equivariant index theorem

Corrado De Concini, Claudio Procesi+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、ベクトル空間上のトーラス作用に関して、等変K理論とコホロロジーの間の明確な関係を確立する。トーラス作用の下で、横断的楕円型作用素の多重度指数が、ボックススプラインによって構成されたスプライン関数を特徴的格子に制限することによって与えられることを示す。主な結果は、K理論とコホロロジーを結ぶToddクラス作用素が、ボックススプラインによるデコンボリューションに対応することであり、近似理論における反転公式を用いて、等変設定下でのリーマン・ロッホの公式を一般化する。

ABSTRACT

In this article, we start to recall the inversion formula for the convolution with the Box spline. The equivariant cohomology and the equivariant K-theory with respect to a compact torus G of various spaces associated to a linear action of G in a vector space M can be both described using some vector spaces of distributions, on the dual of the group G or on the dual of its Lie algebra. The morphism from K-theory to cohomology is analyzed and the multiplication by the Todd class is shown to correspond to the operator (deconvolution) inverting the semidiscrete convolution with a box spline. Finally, the multiplicities of the index of a G-transversally elliptic operator on M are determined using the infinitesimal index of the symbol.

研究の動機と目的

• コンパクトなトーラスGの表現の多重度が、G不変な横断的楕円型作用素のインデックスにどのように現れるかを理解すること。
• 各群元の近傍における局所的データに依存する固定点公式の制限を避ける、多重度インデックス写像の公式を提供すること。
• 等変インデックス理論をスプライン関数および分布論と統一すること、特にボックススプラインとDahmen-Micchelliの反転公式を用いること。
• コホロロジーにおけるチャーン類がボックススプラインとの畳み込みに対応すること、およびToddクラスがデコンボリューション作用素として機能することを示すこと。
• リー代数の双対空間 g* 上の区分的多項式関数を用いて、インデックスのグローバルで解析的な公式を確立すること。

提案手法

• 有限集合 X に属する各重み a に対して区間 [0,1]a を畳み合わせることで得られる、マルチスプライン分布としてのボックススプライン理論を用いる。
• Dahmen-Micchelliの反転公式を用いて、ボックススプラインとベクトル分割関数の間の半離散畳み込みを反転する。
• 無限小インデックス構成を介して、シンボルの等変チャーン類をスプライン関数に関連付ける。
• 無限小インデックスを用いて、インデックス多重度を捉えるg* 上のグローバル関数を定義する。
• 局所化定理とBerline-Vergneの公式を用いて、射影空間 P(E) とNelsonの公式を含む主要な恒等式を検証する。
• 反転公式を用いて、Toddクラスがボックススプライン畳み込みの逆作用素として機能することを示し、リーマン・ロッホ型の公式を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 横断的楕円型作用素のインデックスにおけるトーラス表現の多重度は、シンボルの観点から、どのようにグローバルに記述できるか？
• RQ2 無限小インデックスの文脈において、等変チャーン類とボックススプラインの正確な関係は何か？
• RQ3 等変インデックス定理におけるToddクラス作用素は、スプライン関数空間におけるデコンボリューション操作とどのように対応するか？
• RQ4 アティヤ＝ボット＝セーガル＝シンガーの固定点公式は、g* 上のグローバルで区分的多項式関数の公式に置き換え可能か？
• RQ5 Dahmen-Micchelliの反転公式は、トーラス作用におけるK理論とコホロロジーを結ぶ役割を果たすか？

主な発見

• 横断的楕円型作用素の多重度インデックス写像は、g* 上の区分的多項式関数、具体的にはボックススプラインによって構成されたスプライン関数の、特徴的格子 Λ への制限として与えられる。
• シンボルのチャーン類は、ボックススプラインとベクトル分割関数との畳み込みに対応し、g* 上のマルチスプライン分布を生成する。
• Toddクラス作用素はボックススプライン畳み込みの逆作用素として機能し、チャーン類から多重度インデックスを回復するデコンボリューションを実現する。
• シンボルの無限小インデックスが、微分作用素の積とボックススプライン畳み込みに等しいことが示され、コホロロジー的インデックス公式と一致する。
• ユニモジュラーの場合、恒等式 Todd(X ∪ −X) *pw B_{X∪−X} = δ₀ は、ボットシンボルのインデックスが自明であることを示し、ボックススプラインを用いたリーマン・ロッホの公式の確認を可能にする。
• Nelsonの公式を用いて、射影空間 P(E) に関連する主要な恒等式を検証し、∫_{P(E)} e^{iω(u)} Q(u,ω(u)) = e^{iu} が成り立つことを示し、これが主定理の根拠をなす。