[論文レビュー] BPS algebras and generalised Kac-Moody algebras from 2-Calabi-Yau categories

Ben Davison, Lucien Hennecart+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2023

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、2-Calabi–Yau圏と一般化されたKac–Moodyリーリー代数の間の深い関係を確立し、良いモジュライ空間を備えたこのような圏のBPS代数が、一般化されたKac–Moody代数の正部分代数の普遍包あ仮想代数に同型であることを示している。この代数のカルタンデータは、モジュライ空間の連結成分の交差コホモロジーに符号化されており、多様な幾何学的および表現論的構造を統一し、組合せ論および代数幾何学における主要な予想を証明する。

ABSTRACT

We determine the structure of the BPS algebra of 2-Calabi-Yau Abelian categories for which the stack of objects admits a good moduli space. We prove that this algebra is isomorphic to the positive part of the enveloping algebra of a generalised Kac-Moody Lie algebra generated by the intersection cohomology of certain connected components (corresponding to roots) of the good moduli space. Some major examples include the BPS algebras of (1) the category of semistable coherent sheaves of given slope on a K3 surface or, more generally, quasiprojective symplectic surface, (2) semistable Higgs bundles on a smooth projective curve, (3) preprojective algebras of quivers, (4) multiplicative preprojective algebras and (5) fundamental groups of (quiver) Riemann surfaces. We define the BPS Lie algebras of 2-Calabi-Yau categories and prove that they coincide with the ones obtained by dimensional reduction from the critical cohomological Hall algebra in the case in which the 2-Calabi-Yau category is the category of representations of a preprojective algebra. Consequences include (1) A proof in full generality of the Bozec-Schiffmann positivity conjecture for absolutely cuspidal polynomials, a strengthening of the Kac positivity conjecture (2) A proof of the cohomological integrality conjecture for the category of semistable coherent sheaves on local K3 surfaces (3) A description of the cohomology (in all degrees) of Nakajima quiver varieties as direct sums of irreducible lowest weight representations over the BPS Lie algebra.

研究の動機と目的

• 2-Calabi–Yau圏におけるBPS代数と一般化されたKac–Moodyリーリー代数の間の構造的関係を確立すること。
• BPS代数が一般化されたKac–Moody代数の正部分代数の普遍包あ仮想代数として生じることを証明すること。
• このリーリー代数のカルタンデータが、対象の良いモジュライ空間の連結成分の交差コホモロジーによって決定されることを示すこと。
• この枠組みを応用して、表現論および数え上げ幾何学における長年の予想、特にBozec–Schiffmannの正性予想およびナカジマクービア多様体におけるコホモロジカル的整数性を証明すること。

提案手法

• 著者たちは[DHS22]のBPS代数構成を用い、これは2-Calabi–Yau圏における対象のモジュライスタックのボレル・モーアコホモロジーを通じて定義される。
• 彼らは、対象の良いモジュライ空間の幾何を分析し、根に対応する連結成分に注目し、交差コホモロジーを計算することで、一般化されたKac–Moody代数のカルタン行列を定義する。
• BPSリーリー代数は、特に前射影的代数の場合に、臨界的コホモロジカルホール代数からの次元削減によって構成される。
• BPS代数の構造が、BPS層からコホモロジカルホール代数への単射写像を用いて、一般化されたKac–Moody代数の正部分代数の普遍包あ仮想代数に同型であることが示される。
• この枠組みは、K3面上の半安定な層、曲線上のヒッグス束、前射影的代数、および乗法的前射影的代数といった重要な例に適用される。
• この方法は、混合Hodgeモジュールと perverse sheaves に依存しており、等変および冪零バージョンが導入され、構造の精錬とさらなる正性結果の証明に用いられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2-Calabi–Yau圏に良い対象モジュライ空間を備えた場合、そのBPS代数は一般化されたKac–Moodyリーリー代数とどのように関係しているか？
• RQ2 このような圏から生じる一般化されたKac–Moody代数のカルタン行列を決定づける正確な幾何学的およびコホモロジカル的データは何か？
• RQ3 前射影的代数の場合に、BPSリーリー代数は臨界的コホモロジカルホール代数からの次元削減によって構成可能か？
• RQ4 BPS代数の構造は、クービア多様体のコホモロジーに作用するヘイゼンベルクおよびKac–Moody代数に関する既知の結果を統一するか？
• RQ5 この枠組みにより、絶対的カスピダル多項式に関するBozec–Schiffmannの正性予想およびナカジマクービア多様体におけるコホモロジカル的整数性を証明できるか？

主な発見

• 2-Calabi–Yau圏に良い対象モジュライ空間を備えた場合、そのBPS代数は、一般化されたKac–Moodyリーリー代数の正部分代数の普遍包あ仮想代数に同型である。
• このリーリー代数のカルタンデータは、対象の良いモジュライ空間の連結成分の交差コホモロジーによって明示的に与えられる。
• 前射影的代数の場合に、BPSリーリー代数は臨界的コホモロジカルホール代数からの次元削減と一致する。
• この枠組みにより、Bozec–Schiffmannの正性予想が絶対的カスピダル多項式に関して完全に一般化され、Kacの正性予想が強化される。
• ナカジマクービア多様体のコホモロジーは、BPSリーリー代数上の最低重量型不可約モジュールの直和に分解され、長年のナカジマの問いを解決する。
• 局所K3表面における半安定な一様な層のコホモロジカル的整数性予想は、この枠組みを用いて証明される。