[論文レビュー] BPS/CFT correspondence II: Instantons at crossroads, Moduli and Compactness Theorem

Nikita Nekrasov|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2016

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 86

ひとこと要約

本稿は、Calabi-Yau四fold内の区分けられた時空上で、表面および点状の欠陥を伴う非可換ゲージ理論に一般化されたインスタントンモジュライ空間—スパイク、クロス、折りたたみインスタントン—を導入する。主な貢献は、${\mathcal{N}}=2$キーブゲージ理論における非摂動的ダイソン＝シュヴィンガー恒等式を支える、これらのモジュライ空間におけるトーラス固定点のコンパクト性定理である。

ABSTRACT

Gieseker-Nakajima moduli spaces $M_{k}(n)$ parametrize the charge $k$ noncommutative $U(n)$ instantons on ${\\bf R}^{4}$ and framed rank $n$ torsion free sheaves $\\mathcal{E}$ on ${\\bf C\\bf P}^{2}$ with ${\ m ch}_{2}({\\mathcal{E}}) = k$. They also serve as local models of the moduli spaces of instantons on general four-manifolds. We study the generalization of gauge theory in which the four dimensional spacetime is a stratified space $X$ immersed into a Calabi-Yau fourfold $Z$. The local model ${\\bf M}_{k}({\\vec n})$ of the corresponding instanton moduli space is the moduli space of charge $k$ (noncommutative) instantons on origami spacetimes. There, $X$ is modelled on a union of (up to six) coordinate complex planes ${\\bf C}^{2}$ intersecting in $Z$ modelled on ${\\bf C}^{4}$. The instantons are shared by the collection of four dimensional gauge theories sewn along two dimensional defect surfaces and defect points. We also define several quiver versions ${\\bf M}_{\\bf k}^{\\gamma}({\\vec{\\bf n}})$ of ${\\bf M}_{k}({\\vec n})$, motivated by the considerations of sewn gauge theories on orbifolds ${\\bf C}^{4}/{\\Gamma}$. The geometry of the spaces ${\\bf M}_{\\bf k}^{\\gamma}({\\vec{\\bf n}})$, more specifically the compactness of the set of torus-fixed points, for various tori, underlies the non-perturbative Dyson-Schwinger identities recently found to be satisfied by the correlation functions of $qq$-characters viewed as local gauge invariant operators in the ${\\mathcal{N}}=2$ quiver gauge theories. The cohomological and K-theoretic operations defined using ${\\bf M}_{k}({\\vec n})$ and their quiver versions as correspondences provide the geometric counterpart of the $qq$-characters, line and surface defects.

研究の動機と目的

• Calabi-Yau四fold内の区分けられた時空上での非可換ゲージ理論へのインスタントンのADHM構成を一般化すること。
• ${\mathbb{C}}^4$内に交差する${\mathbb{C}}^2$平面の和集合上に、スパイク、クロス、折りたたみインスタントンのモジュライ空間を定義し、表面および点状の欠陥を伴うゲージ理論をモデル化すること。
• これらのモジュライ空間におけるトーラス固定点のコンパクト性定理を確立し、超対称ゲージ理論における非摂動的恒等式を可能にすること。
• ${\mathcal{N}}=2$キーブゲージ理論における$qq$-キャラクターおよびライン・表面欠陥の幾何的基盤を提供すること。

提案手法

• ${\mathbb{C}}^4$内の座標${\mathbb{C}}^2$平面の和集合上に、電荷$k$およびフレーミングデータ$\vec{n}$でパrameter化されたスパイクインスタントンの一般化されたADHM方程式を導入する。
• 群$\Gamma \subset SU(4)$のオルビフォールド作用および表現$\mathcal{R}_{\vec{\omega}}$を用いて、モジュライ空間のキーブ版${{\mathfrak{M}}}_{\mathbf{k}}^{\gamma}(\vec{\underline{\mathbf{n}}})$を定義する。
• トーラス同変コホモロジーおよびK理論を用いて、$qq$-キャラクターをゲージ不変演算子として幾何的に実現する対応関係を定義する。
• トレース関数$f_{A,\vec{\omega},n}$を用いて、演算子$B_a$および$I_C$のノルムを推定し、成長を制御し、固定点集合のコンパクト性を証明する。
• 局在化技法および解析性を用いてモジュライ空間上で積分を行い、ゲージ理論における相関関数と関連付ける。
• 固定点集合のコンパクト性の議論を、$\vec{\omega}$-次数付き成分$K_{A,\vec{\omega}}$を伴う$\Gamma$-同変フレーミング層へ一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Calabi-Yau四fold内の交差する${\mathbb{C}}^2$平面を持つ区分けられた時空上での非可換インスタントンに対して、ADHM構成をどのように一般化できるか。
• RQ2 表面および点状の欠陥を伴うスパイクインスタントンのモジュライ空間の構造は何か。また、キーブゲージ理論とはどのように関係するか。
• RQ3 スパイクインスタントンのモジュライ空間におけるトーラス固定点の集合がコンパクトであるための条件は何か。
• RQ4 これらのモジュライ空間上のコホモロジー的およびK理論的作用素は、$qq$-キャラクターおよび欠陥演算子をどのように実現するか。
• RQ5 固定点集合のコンパクト性を保つために、キーブ構造が満たすべき制約は何か。

主な発見

• ${\mathbb{C}}^4$内に六つの${\mathbb{C}}^2$平面の和集合上に存在するスパイクインスタントンのモジュライ空間${{\mathfrak{M}}}_{k}^{*}(\vec{n})$は、明確に定義されており、トーラス固定点解析を用いたコンパクト化が可能である。
• $\Gamma$-固定点の集合${{\mathfrak{M}}}_{k}(\vec{n})$は、各成分${{\mathfrak{M}}}_{\underline{\mathbf{k}}}^{\gamma_{\Gamma}}(\vec{\underline{\mathbf{n}}})$に分解され、それぞれが$\Gamma$-同変フレーミングおよび欠陥データを伴うインスタントンをパラメータ化する。
• さまざまなトーラスの下で、固定点集合のコンパクト性定理が成り立つ。これは、$\Gamma$-次数付き成分$K_{A,\vec{\omega}}$上でのトレース関数$f_{A,\vec{\omega},n}$を用いて、ノルム$\|B_a\|^2$を有界化することで証明される。
• キーブモジュライ空間${{\mathfrak{M}}}_{\mathbf{k}}^{\gamma}(\vec{\underline{\mathbf{n}}})$は元のモジュライ空間を一般化しており、同じ条件下でコンパクト性定理を満たす。
• 固定点のコンパクト性により、${\mathcal{N}}=2$キーブゲージ理論における$qq$-キャラクターの非摂動的ダイソン＝シュヴィンガー恒等式が導出可能である。
• この構成により、モジュライ空間を通じて、コホモロジー的およびK理論的場の理論における$qq$-キャラクターが対応関係として幾何的に実現される。