[論文レビュー] BPS Lie algebras for totally negative 2-Calabi-Yau categories and nonabelian Hodge theory for stacks

Ben Davison, Lucien Hennecart+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2022

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、完全に負の2-Calabi–Yau圏に対して、層論的コホモロジー的ホール代数（CoHA）およびBPSリー代数を導入し、BPS代数が単純な自己同型のモジュライ空間の交差コホモロジーによって自由に生成されることを証明する。また、曲線上のヒッグスバンドルおよびねじれた局所系に対して非アーベルホッジ同型を確立し、Bozec–Schiffmannの正値性予想を証明する：完全に負のクーヴィーに対して、構成可能ホール代数におけるカスピダル多項式の係数はすべて正である。

ABSTRACT

We define and study a sheaf-theoretic cohomological Hall algebra for suitably geometric Abelian categories $\mathcal{A}$ of homological dimension at most two, and a sheaf-theoretic BPS algebra under the conditions that $\mathcal{A}$ is 2-Calabi-Yau and has a good moduli space. We show that the BPS algebra for the preprojective algebra $Π_Q$ of a totally negative quiver is the free algebra generated by the intersection cohomology of the closure of the locus parameterising simple $Π_Q$-modules in the coarse moduli space. We define and study the BPS Lie algebra of arbitrary 2-Calabi-Yau categories $\mathcal{A}$ for which the Euler form is negative on all pairs of non-zero objects, which recovers the BPS algebra as its universal enveloping algebra for such "totally negative" 2CY categories. We show that for totally negative 2CY categories the BPS algebra is freely generated by intersection complexes of certain coarse moduli spaces as above, and the Borel-Moore homology of the stack of objects in such $\mathcal{A}$ satisfies a Yangian-type PBW theorem for the BPS Lie algebra. In this way we prove the cohomological integrality theorem for these categories. We use our results to prove that for $C$ a smooth projective curve, and for $r$ and $d$ not necessarily coprime, there is a nonabelian Hodge isomorphism between the Borel-Moore homologies of the stack of rank $r$ and degree $d$ Higgs bundles, and the appropriate stack of twisted representations of the fundamental group of $C$. In addition we prove the Bozec-Schiffmann positivity conjecture for totally negative quivers; we prove that their polynomials counting cuspidal functions in the constructible Hall algebra for $Q$ have positive coefficients, strengthening the positivity theorem for the Kac polynomials of such quivers.

研究の動機と目的

• 2次元的アーベル圏で良いモジュライ空間を持つものに対して、層論的CoHA構造を構築すること。
• 完全に負の2-Calabi–Yau圏に対してBPSリー代数を定義し、その性質を調査すること。ここで、すべての非ゼロのペアに対してオイラー形式が厳密に負である。
• BPS代数が単純対象の粗いモジュライ空間の閉包の交差コホモロジー類によって自由に生成されることを証明すること。
• 完全に負の2CY圏のCoHAに対して、ヤング型PBW定理を確立し、それによってヤング代数構造と関連付けること。
• 非アーベルホッジ理論を特異なスタック的モジュライ空間へ拡張し、完全に負のクーヴィーに対してBozec–Schiffmannの正値性予想を証明すること。

提案手法

• 2次元のホモロジー次元 ≤2 の2-Calabi–Yau圏における対象の良いモジュライ空間上で、層論的CoHAを構成する。
• BPSリー代数を、粗いモジュライ空間における単純対象の軌跡の閉包の交差コホモロジーによって生成される自由リー代数として定義する。
• 仮想引き戻しと準滑らか射を用いて、導来的設定におけるCoHA構造を定義する。
• Sevenhant–Van den Berghの定理を適用し、ホール代数の自由性を示し、これによりBPSリー代数が自由であることを示す。
• BPSリー代数のポincare級数とモジュライ空間の交差ポincare多項式との間の文字則を確立する。
• CoHAのPBW定理を用いて、対象のスタックのボレル・ムーアコホモロジーがBPSリー代数の普遍包あらたな代数に同型であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2-Calabi–Yau圏に対して、コホモロジー的ホール代数を、その粗いモジュライ空間上で層論的構造へどのように精製できるか？
• RQ2 完全に負の2-Calabi–Yau圏におけるBPSリー代数の構造は何か？ そして、BPS代数とはどのように関係するか？
• RQ3 ヒッグスバンドルおよび曲線上のねじれた局所系の特異スタックに対して、非アーベルホッジ同型を確立できるか？
• RQ4 完全に負のクーヴィーの構成可能ホール代数におけるカスピダル関数を数える多項式の係数はすべて正か？
• RQ5 BPSリー代数のポincare級数とモジュライ空間の交差コホモロジーとの間の関係は何か？

主な発見

• 完全に負のクーヴィーの前プレジョイティブ代数のBPS代数は、粗いモジュライ空間における単純モジュールの軌跡の閉包の交差コホモロジーによって自由に生成される。
• 完全に負の2CY圏における対象のスタックのボレル・ムーアコホモロジーは、ヤンガ型PBW定理を満たし、BPSリー代数がその生成元のリー代数として現れる。
• 滑らかな射影的曲線 $C$ で genus $g \geq 2$ の場合、ヒッグスバンドルのスタックとねじれた局所系のスタックのボレル・ムーアコホモロジーの間には非アーベルホッジ同型が存在する。
• 完全に負のクーヴィーに対してBozec–Schiffmannの正値性予想は成り立つ：絶対的カスピダル関数を数える多項式 $C_{Q, vmathbf{d}}^{ ext{abs}}(q)$ の係数はすべて $\mathbf{N}[q]$ に属する。
• BPSリー代数の文字は $\mathrm{ch}(\mathfrak{g}_{\Pi_Q}^{\operatorname{BPS}}) = \sum_{\mathbf{d}} A_{Q,\mathbf{d}}(q^{-2}) z^{\mathbf{d}}$ で与えられ、そのアーベル化は交差ポincare多項式 $\operatorname{IP}(\mathcal{M}_{\Pi_Q,\mathbf{d}}, q)$ と一致する。
• すべての $\mathbf{d} \in \Sigma_Q$ に対して $C_{Q,\mathbf{d}}(q^{-2}) = \operatorname{IP}(\mathcal{M}_{\Pi_Q,\mathbf{d}}, q)$ が成り立ち、カスピダル多項式と交差コホモロジーが結びつく。