[論文レビュー] BPZ equations for higher degenerate fields and nonperturbative Dyson-Schwinger equations

Saebyeok Jeong, Xinyu Zhang|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、2次元リーマン・リュービル場理論における高次退化場を含むBPZ方程式と、4次元 $υ=2$ 超共形クワイバーゲージ理論における非摂動的ディソン＝シュヴィンガー方程式との間の直接的対応関係を確立する。両側から3階微分方程式を導出することにより（それぞれリーマン理論におけるノルムベクトルの分離とゲージ理論におけるインスタントン制約）、BPS/CFT対応が非摂動的レベルで確認され、インスタントン分配関数がリーマンの共形ブロックに一致することが特定される。

ABSTRACT

In the two-dimensional Liouville conformal field theory, correlation functions involving a degenerate field satisfy partial differential equations due to the decoupling of the null descendant field. On the other hand, the instanton partition function of a four-dimensional $\mathcal{N}=2$ supersymmetric theory in the $Ω$-background at a special point of the parameter space also satisfies a partial differential equation resulting from the constraints of the gauge field configurations. This partial differential equation can be proved using the nonperturbative Dyson-Schwinger equations. We show for the next-to-simplest case that the partial differential equations obtained from two different perspectives can be identified, thereby confirming an assertion of the BPS/CFT correspondence.

研究の動機と目的

• 2次元リーマン場理論における相関関数と4次元 $υ=2$ 超共形クワイバーゲージ理論における分配関数との間の非摂動的リンクを確立すること。
• リーマン理論における退化場から生じる微分方程式と、ゲージ理論における非摂動的ディソン＝シュヴィンガー方程式から導かれる方程式を同一視することで、BPS/CFT対応を検証すること。
• 次に単純な退化場（レベル3ノルムベクトル）とその関連する3階BPZ方程式を分析すること。
• 非摂動的ディソン＝シュヴィンガー方程式を用いてインスタントン分配関数の微分方程式を導出し、それをリーマン側と一致させること。
• ネクラソフ＝シャタシヴァ極限を超えて、両側で同一の3階微分構造が得られることを確認することで、AGT対応を非摂動的レベルで裏付けること。

提案手法

• アルドレイ＝ガイョット＝タチカワ（AGT）対応を用いて、リーマンの相関関数と $υ=2$ ゲージ理論におけるインスタントン分配関数を関連付ける。
• 非摂動的ディソン＝シュヴィンガー方程式（NPDS）を適用し、ゲージ場の配置制約下でインスタントン分配関数の微分方程式を導出する。
• ノルム後継者分離を用いて、レベル3の退化場を含むリーマン相関関数のための3階BPZ方程式を導出する。
• 両側（リーマン理論およびゲージ理論）における微分方程式が等価であることを特定し、構造的一致性を確認する。
• 一般化超幾何関数とポッホハマー記号を用いて解を表現し、微分方程式の構造を検証する。
• NPDS方程式からインスタントン分配関数の $U(1)$ 要素を抽出し、$α$-パラメータと $z$-変数に依存する構造を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次に単純な退化場（レベル3）を含むリーマン相関関数が満たす3階微分方程式が、ゲージ理論における非摂動的ディソン＝シュヴィンガー方程式から導かれる微分方程式と一致するか。
• RQ2 非摂動的ディソン＝シュヴィンガー法が、インスタントン分配関数の微分方程式を生成する際、リーマン理論からのBPZ方程式と一致するか。
• RQ3 NPDS方程式からインスタントン分配関数の $U(1)$ 要素はどのように導かれるか。その構造は $α$-パラメータと $z$-変数の関数としてどのように表現されるか。
• RQ4 AGT対応は、ネクラソフ＝シャタシヴァ極限を超えて、微分方程式のレベルでも成立するのか。その範囲はどの程度か。
• RQ5 NPDSフレームワークを用いて、リーマン理論における共形ブロック構造をインスタントン分配関数から完全に回復できるか。

主な発見

• レベル3の退化場を含むリーマン相関関数から導かれた3階微分方程式が、ゲージ理論側における非摂動的ディソン＝シュヴィンガー方程式から得られる方程式と正確に一致する。
• インスタントン分配関数は、BPZ方程式と構造的に同一の微分方程式を満たしており、BPS/CFT対応が非摂動的レベルで確認されたことを示す。
• $U(1)$ 要素は $Z^{\mathrm{instanton}}=\prod_{0\leq i<j\leq r}\left(1-\frac{z_{j}}{z_{i}}\right)^{-\frac{(\bar{a}_{i}-\bar{a}_{i+1})(\bar{a}_{j}-\bar{a}_{j+1}+\varepsilon)}{\varepsilon_{1}\varepsilon_{2}}}$ として導出され、$α$-差と $z$-比に明示的な依存性を示す。
• $t = -z_j^{-1}$ における留数計算により、$\langle k_j - k_{j+1} \rangle$ の一貫した表現が得られ、インスタントン分配関数の対数微分が $α$-パラメータと $z$-変数にリンクすることが示された。
• 導出された微分方程式の解として一般化超幾何関数 ${}_3F_2$ が出現し、共形ブロックの解析的構造が確認された。
• 両側で微分方程式が一致するという結果は、特に非摂動的 $υ=2$ ゲージ理論の文脈において、摂動的領域を超えたAGT対応の妥当性を強く裏付ける証拠を提供する。