[論文レビュー] Brace Bar-Cobar Duality

Justin Young|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、ホップ代数から $\mathcal{S}_2$-代数への強化されたバーバー構成 $B$ の厳密な左随伴 $\times\Omega$ とコバーバー構成 $\Omega$ の間のホモトピー同値を確立し、$\u03a9BA$ が $\mathcal{S}_2$-代数として $A$ に同値であることを証明する。Kadeishviliの符号を修正した公式を用いて、$\u03a9(UL)^\vee$ がチェバリ・エイレンベルクコチェーン複体 $C^*(L)$ に同値であることを示し、$1/2 \in R$ の条件下で $S^*(X)$ が可換代数にホモトピー的に同値であることを示唆する。

ABSTRACT

Using Kadeishvili's formulas with appropriate signs, we show that the classical cobar construction from coalgebras to algebras Ω: CoAlg -> Alg can be enhanced to a functor from Hopf algebras to E_2 algebras (for a certain choice of E_2 operad) Ω: HopfAlg -> E_2 Alg, which, unlike its classical counterpart, is not strictly adjoint, but homotopically equivalent to the left adjoint of the enhanced bar construction B: E_2 Alg -> HopfAlg studied by Gerstenhaber--Voronov and Fresse.

研究の動機と目的

• ホップ代数と $\mathcal{S}_2$-代数の間の強化されたバーバー関手とコバーバー関手を用いた、$\mathcal{S}_2$-代数とホップ代数の間のホモトピー的関係を確立すること。
• Fresseの予想を $n=2$ に対して解決し、$\Omega BA \simeq A$ を $\mathcal{S}_2$-代数として示すこと。
• $1/2 \in R$ の仮定の下で、$\Omega(UL)^\vee$ が $C^*(L)$ に同値であることを示すこと。$C^*(L)$ は可換な $\mathcal{S}_2$-代数である。
• コホモロジー代数 $S^*(X)$ をその関連するホップ代数 $BS^*(X)$ を通じて研究するための枠組みを提供することにより、ホモトピー論的再構成を可能にすること。

提案手法

• Kadeishviliの符号を修正した公式を用いて、古典的なバーバー構成 $B: \mathcal{S}_2\text{-Alg} \to \text{HopfAlg}$ とコバーバー構成 $\Omega: \text{HopfAlg} \to \mathcal{S}_2\text{-Alg}$ を強化する。
• バーバー構成 $B$ の厳密な左随伴 $\widetilde{\Omega}: \text{HopfAlg} \to \mathcal{S}_2\text{-Alg}$ を導入し、自然同値 $\widetilde{\Omega} \to \Omega$ を構成する。
• 導分ホモトピー $h$ を用いて、$\partial h + h\partial = \text{id} - p$ となるチェーンホモトピーを構成する。ここで $p$ はバーバー構成の像への射影である。
• 包含写像 $C_*(L) \to BUL$ の双対としてのねじれ射影 $\alpha: (UL)^\vee \to C^*(L)$ を適用し、$\Omega(UL)^\vee$ とチェバリ・エイレンベルク複体の関係を確立する。
• ねじれ射影 $\alpha$ がホップねじれ射影であることを証明し、$\Omega(UL)^\vee \to C^*(L)$ が $\mathcal{S}_2$-代数として弱同値であることを示す。
• ホップ代数にモデル構造が存在しない状況においても、$\mathcal{S}_2$-代数における半モデル構造（Mandellによる）を用いてホモトピー余極限と写像空間を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コバーバー構成 $\Omega: \text{HopfAlg} \to \mathcal{S}_2\text{-Alg}$ は、バーバー構成 $B$ の厳密な左随伴 $\widetilde{\Omega}$ とホモトピー的に同値であるか？
• RQ2 任意の $\mathcal{S}_2$-代数 $A$ に対して、$\Omega BA$ はホモトピー的に元の $\mathcal{S}_2$-代数 $A$ を回復するか？
• RQ3 $\Omega(UL)^\vee$ は $\mathcal{S}_2$-代数としてチェバリ・エイレンベルクコチェーン複体 $C^*(L)$ に同値か？
• RQ4 $\mathcal{S}_2$-代数構造 $S^*(X)$ は、バーバー–コバーバー随伴を介してホップ代数 $BS^*(X)$ から回復可能か？

主な発見

• コバーバー構成 $\Omega: \text{HopfAlg} \to \mathcal{S}_2\text{-Alg}$ は、バーバー構成 $B$ の厳密な左随伴 $\widetilde{\Omega}$ とホモトピー的に同値であり、$\text{HopfAlg}$ と $\mathcal{S}_2\text{-Alg}$ の間の右半モデル近似を確立する。
• Fresseの予想 $\Omega BA \simeq A$ が $n=2$ に対して真であることが証明され、自然変換 $\widetilde{\Omega} \to \Omega$ を通じて実現される。
• $1/2 \in R$ の仮定の下で、$\mathcal{S}_2$-代数 $\Omega(UL)^\vee$ は $C^*(L)$、つまりリー代数 $L$ のチェバリ・エイレンベルクコチェーン複体に同値であり、$\Omega(UL)^\vee$ がホモトピー的に可換であることを示す。
• ねじれ射影 $\alpha: (UL)^\vee \to C^*(L)$ はホップねじれ射影であり、その双対は $\mathcal{S}_2$-代数として弱同値 $\Omega(UL)^\vee \to C^*(L)$ を誘導する。
• この結果により、十分に連結で低次元な空間 $X$ に対して、コホモロジー代数 $S^*(X)$ は $BS^*(X) \simeq (UL_X)^\vee$ を介して、厳密に可換な代数 $C^*(L_X)$ に $\mathcal{S}_2$-代数としてホモトピー的に同値であることが示される。
• モデル構造がホップ代数に存在しない状況においても、$\mathcal{S}_2$-代数における半モデル構造のおかげで、ホップ代数を通じた $\mathcal{S}_2$-代数のホモトピー的枠組みが提供される。