[論文レビュー] Braid groups and Artin groups

Luis Paris|ArXiv.org|Nov 15, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 109被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、ブレード群、アーティン群、ガーディーズ群について包括的なサーベイを提供し、それらの代数的・位相的・幾何的構造に焦点を当てる。非巡回なホモモルフィズム B_n → M(Σ_{k,r}) が、標準的表現のトランスベクションとして、同型類の意味で分類可能であり、その単射性条件は表面の位相的性質に依存する。これにより、ブレード群および写像類群の外部自己同型群の分類について、新たな証明が得られる。

ABSTRACT

This article is a survey on the braid groups, the Artin groups, and the Garside groups. It is a presentation, accessible to non-experts, of various topological and algebraic aspects of these groups. It is also a report on three points of the theory: the faithful linear representations, the cohomology, and the geometrical representations.

研究の動機と目的

• 非専門家向けに、ブレード群、アーティン群、ガーディーズ群について自己完結的かつアクセス可能なサーベイを提供すること。
• ブレード群、写像類群、幾何的／位相的表現の間の関係を統合し、説明すること。
• 表面の写像類群への非巡回ホモモルフィズムを、特にトランスベクションおよび中心化子の観点から分類すること。
• これらの分類を用いて、ブレード群および写像類群の外部自己同型群に関する主要な結果を再導出すること。

提案手法

• ガーディーズ群論を用いて、ブレード群における語問題および同型問題といったアルゴリズム的問題を分析する。
• サルベッティ複体の構成を応用し、超平面配置を介してアーティン群のコホロロジーを研究する。
• 位相的および代数的手法を用いて、ビーケルおよびクラメールの表現を含むブレード群の線形表現を構成する。
• 特に、表面におけるデーン回転を介して、幾何的表現を写像類群へのホモモルフィズムとして用いる。
• 写像類群における像部分群の中心化子を分析し、可能なホモモルフィズムの分類に用いる。
• 標準的表現のトランスベクションを、非巡回ホモモルフィズムの生成および分類のメカニズムとして導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 表面の写像類群へのブレード群からの非巡回ホモモルフィズムの構造は何か？
• RQ2 写像類群における像部分群の中心化子が、このようなホモモルフィズムの分類にどのように寄与するか？
• RQ3 ブレード群の標準的表現 ρ_M: B_n → M(Σ_{k,r}) が写像類群に単射であるための位相的条件は何か？
• RQ4 ホモモルフィズムの分類をどのように用いて、外部自己同型群の結果を再導出できるか？
• RQ5 標準的表現のトランスベクションは、すべての非巡回ホモモルフィズムを生成するために果たす役割は何か？

主な発見

• n が奇数で n ≥ 5 のとき、B_n から M(Σ_{k,r}) へのすべての非巡回ホモモルフィズムは、標準的表現 ρ_M に対するトランスベクションに同型類で類別される。
• 標準的表現 ρ_M: B_n → M(Σ_{k,r}) は、r ≥ 1 であるときにかつそのときに限り単射である。
• n が偶数で n ≥ 6 のとき、B_n から M(Σ_{k,r}) へのすべての非巡回ホモモルフィズムは、ρ_M(r₁,r₂) に対するトランスベクションに同型類で類別される。ただし r₁ + r₂ = r かつ r₁,r₂ ≥ 1 を満たす。
• 表現 ρ_M(r₁,r₂): B_n → M(Σ_{k,r}) は、r₁ ≥ 1 かつ r₂ ≥ 1 のときにかつそのときに限り単射である。
• r > 0 のとき、ρ_M(r₁,r₂) の像の中心化子は M(Ω₁) × M(Ω₂) に同型であり、r = 0 のときは位数 2 の巡回群に同型である。
• これらの分類結果により、外部自己同型群の構造について新たな証明が得られる：n ≥ 5 のとき Out(B_n) ≅ ℤ/2ℤ であり、r ≥ 1 のとき Out(M(Σ_{g,r})) は自明群、r = 0 かつ g ≥ 3 のときは ℤ/2ℤ、r = 0 かつ g = 2 のときは (ℤ/2ℤ)² である。