[論文レビュー] Braided autoequivalences and the equivariant Brauer group of a quasitriangular Hopf algebra

Jeroen Dello, Yinhuo Zhang|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Drinfeld中心 ${}^{H}_{H}\mathcal{YD}$ のき裂的自己同値が ${}_{H}\mathcal{M}$ 上で自明であるものと、転置braided Hopf代数 ${}_{R}H$ 上の量子可換なbi-Galois対象との間で群同型を確立し、テンソル自己同値を用いた-equivariant Brauer群 $\mathrm{BM}(k,H,R)$ の圏的解釈を提供する。主な貢献は、[18]における完全系列をき裂的自己同値およびbraidedモノイダル圏におけるbi-Galois理論を通じて圏的に実現することにある。

ABSTRACT

Let $(H, R)$ be a finite dimensional quasitriangular Hopf algebra over a field $k$, and $_H\mathcal{M}$ the representation category of $H$. In this paper, we study the braided autoequivalences of the Drinfeld center $^H_H\mathcal{YD}$ trivializable on $_H\mathcal{M}$. We establish a group isomorphism between the group of those autoequivalences and the group of quantum commutative bi-Galois objects of the transmutation braided Hopf algebra $_RH$. We then apply this isomorphism to obtain a categorical interpretation of the exact sequence of the equivariant Brauer group $\mathrm{BM}(k, H,R)$ in [18]. To this aim, we have to develop the braided bi-Galois theory initiated by Schauenburg in [14,15], which generalizes the Hopf bi-Galois theory over usual Hopf algebras to the one over braided Hopf algebras in a braided monoidal category.

研究の動機と目的

• Drinfeld中心のき裂的自己同値を用いた-equivariant Brauer群 $\mathrm{BM}(k,H,R)$ の圏的解釈を提供すること。
• ${}^{H}_{H}\mathcal{YD}$ の ${}_{H}\mathcal{M}$ 上で自明なき裂的自己同値が、すべて ${}_{R}H$ 上の量子可換なbi-Galois対象から生じるかどうかという問題を解決すること。
• ${}_{R}H$ 上のbi-Galois理論をbraidedモノイダル圏に拡張し、Schauenburgの余テンソル関手構成の逆を確立すること。
• 写像 $\tilde{\pi}: \mathrm{BM}(k,H,R) \to \mathrm{Gal}^{qc}({}_{R}H)$ をDrinfeld中心のテンソル自己同値と関連付けること。

提案手法

• braidedモノイダル圏におけるき裂的bi-Galois理論を構築し、Hopf bi-Galois理論をき裂的Hopf代数に一般化する。
• bi-Galois対象 $A$ に対して余テンソル関手 $A \square_B -$ を用い、余モジュール圏 ${}^B\mathcal{C}$ と ${}^L\mathcal{C}$ 間の $\mathcal{C}$-線形テンソル同値を定義する。
• $\mathcal{C}$-線形テンソル自己同値 $\alpha: {}^B\mathcal{C} \to {}^L\mathcal{C}$ が $\alpha(B)$ を通じてbi-Galois対象を誘導する条件を特定する。特に、自明な余モジュールにおけるbraidingとの整合性が必要である。
• $\mathrm{Gal}^{qc}({}_{R}H)$ と $\mathrm{Aut}^{br}({}^{H}_{H}\mathcal{YD}, {}_{H}\mathcal{M})$ 間の同型を用い、$\tilde{\pi}$ を圏的に解釈する。
• $H^*$-Galois Azumaya代数 $A$ に対して、$F_A(Z) = (A \otimes Z)^A$ を通じて ${}^{H}_{H}\mathcal{YD} \to {}^{H}_{H}\mathcal{YD}$ の関手 $F_A$ を構成し、${}_{H}\mathcal{M}$ 上で自明であることを示す。
• ${}_{H}\mathcal{M}$ のブラウアー群 $\mathrm{Br}({}_{H}\mathcal{M}) \to \mathrm{Aut}^{br}({}^{H}_{H}\mathcal{YD}, {}_{H}\mathcal{M})$ の合成 $F_A$ が、$\mathrm{Br}(k)$ に同型な核を持つ群準同型を定める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Drinfeld中心 ${}^{H}_{H}\mathcal{YD}$ の ${}_{H}\mathcal{M}$ 上で自明なき裂的自己同値は、すべて ${}_{R}H$ 上の量子可換なbi-Galois対象から生じるか？
• RQ2 完全系列 (0.1) の群 $\mathrm{Gal}^{qc}({}_{R}H)$ は、${}^{H}_{H}\mathcal{YD}$ のテンソル自己同値を用いて圏的に解釈可能か？
• RQ3 $\tilde{\pi}: \mathrm{BM}(k,H,R) \to \mathrm{Gal}^{qc}({}_{R}H)$ は、Drinfeld中心のき裂的自己同値を通じて実現可能か？
• RQ4 $A$ が $H^*$-Galois Azumaya代数であるとき、関手 $F_A(Z) = (A \otimes Z)^A$ は ${}^{H}_{H}\mathcal{YD}$ の自己同値とどのように関係するか？
• RQ5 $F_A$ は $H^*$-Galoisの場合を越えて、どのような条件下でテンソル自己同値に拡張可能か？

主な発見

• ${}^{H}_{H}\mathcal{YD}$ の ${}_{H}\mathcal{M}$ 上で自明なき裂的自己同値の群と、${}_{R}H$-量子可換なbi-Galois対象の群との間で群同型を確立した。
• 同型の構成には、自己同値の下でbraiding構造が保たれるようにするための整合性図式（記号 $\mathbb{A}$）が不可欠である。
• $\tilde{\pi}: \mathrm{BM}(k,H,R) \to \mathrm{Gal}^{qc}({}_{R}H)$ は、同型 $\mathrm{Gal}^{qc}({}_{R}H) \cong \mathrm{Aut}^{br}({}^{H}_{H}\mathcal{YD}, {}_{H}\mathcal{M})$ とブラウアー群準同型の合成として、圏的に解釈される。
• 誘導された準同型 $\tau: \mathrm{Pic}({}_{H}\mathcal{M}) \to \mathrm{Aut}^{br}({}^{H}_{H}\mathcal{YD}, {}_{H}\mathcal{M})$ の核は、ベース体 $k$ の古典的ブラウアー群 $\mathrm{Br}(k)$ に同型である。
• $H^*$-Galois Azumaya代数 $A$ に対して、関手 $F_A(Z) = (A \otimes Z)^A$ が ${}_{H}\mathcal{M}$ 上で自明であることが示された。すなわち、$X \in {}_{H}\mathcal{M}$ に対して $F_A(X) \cong X$ である。
• 本稿では、$\tau$ が適切な条件下でDavydovとNikshych [3] のものと一致すると予想しており、完全系列 (0.1) を無限次元の量子三角的Hopf代数へ拡張可能である可能性を示唆している。