[論文レビュー] Braided Lie algebras and bicovariant differential calculi over coquasitriangular Hopf algebras

X. Gomez, Shahn Majid|ArXiv.org|Dec 28, 2001

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、co-quasitriangular Hopf代数 $ A $ 上のbicovariant 1次微分計算に関する量子普遍包あらゆる代数 $ U(g_\Gamma) $ が、$ A $-comodule の braided 圏において bialgebra 構造を有することを確立する。その根拠は、$ \tilde{g}_\Gamma = k \oplus g_\Gamma $ という自然な拡張が、braided Lie代数をなすことである。主な結果は、$ U(g_\Gamma) $ が $ \tilde{g}_\Gamma $ の部分代数の braided 普遍包あらゆる代数と同型であり、微分計算が内包的（inner）である場合には、$ U(g_\Gamma) $ が quadratic であることを示し、$ n=2 $ の場合に既知の Witten代数が回復されることである。

ABSTRACT

We show that if $g_Γ$ is the quantum tangent space (or quantum Lie algebra in the sense of Woronowicz) of a bicovariant first order differential calculus over a coquasitriangular Hopf algebra $(A,r)$, then a certain extension of it is a braided Lie algebra in the category of $A$-comodules. This is used to show that the Woronowicz quantum universal enveloping algebra $U(g_Γ)$ is a bialgebra in the braided category of $A$-comodules. We show that this algebra is quadratic when the calculus is inner. Examples with this unexpected property include finite groups and quantum groups with their standard differential calculi. We also find a quantum Lie functor for coquasitriangular Hopf algebras, which has properties analogous to the classical one. This functor gives trivial results on standard quantum groups $O_q(G)$, but reasonable ones on examples closer to the classical case, such as the cotriangular Jordanian deformations. In addition, we show that split braided Lie algebras define `generalised-Lie algebras' in a different sense of deforming the adjoint representation. We construct these and their enveloping algebras for $O_q(SL_n)$, recovering the Witten algebra for $n=2$.

研究の動機と目的

• co-quasitriangular な $ A $ に対して、量子普遍包あらゆる代数 $ U(g_\Gamma) $ に bialgebra や Hopf代数構造を導入するという未解決問題に取り組む。
• Woronowicz の bicovariant 微分計算と braided Lie代数理論との間の体系的関係を確立する。
• co-quasitriangular Hopf代数に対して、古典的 Lie関手を一般化する量子 Lie関手を構成する。
• 微分計算が内包的である場合に $ U(g_\Gamma) $ が quadratic bialgebra であり、かつその構造が braided 普遍包あらゆる代数として同定されることを示す。
• split braided Lie代数を通じて「一般化された Lie代数」を定義し、$ n=2 $ の場合に Witten代数が回復されることを示す。

提案手法

• $ \tilde{g}_\Gamma = k \oplus g_\Gamma $ を量子接空間 $ g_\Gamma $ の拡張として定義し、$ A $-comodule 圏における自然な braided Lie代数構造を示す。
• $ A $ に備わる co-quasitriangular 構造 $ r $ を用いて braided 圏を定義し、これにより $ U(g_\Gamma) $ に braided bialgebra 構造を構成する。
• $ \tilde{g}_\Gamma $ の braided 普遍包あらゆる代数 $ B(\tilde{g}_\Gamma) $ を構成し、これは $ U(g_\Gamma) $ の quadratic central 拡張であり、$ U(g_\Gamma) $ を商として持つ。
• $ A $ の braided group（$ A $ の braided バージョン）を用いて、$ A/I $ 上の代数構造を双対化し、$ \tilde{g}_\Gamma $ 上に余代数構造を誘導する。
• split braided Lie代数の理論を応用し、一般化された Lie代数 $ \mathfrak{sl}_q(n) $ を定義する。ここで $ \mathfrak{sl}_q(n) = \ker \epsilon \subset \tilde{g}_\Gamma $ であり、その削減包あらゆる代数を構成する。
• R行列の公式と明示的計算を用いて、$ U(g_\Gamma) $ の生成子の交換関係を導出する。これには Cartan 型関係とルートベクトルの交換関係が含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 co-quasitriangular Hopf代数 $ A $ 上の bicovariant 1次微分計算に対して、$ U(g_\Gamma) $ に自然な bialgebra 構造を定義する方法は何か？
• RQ2 いつ $ U(g_\Gamma) $ が quadratic 代数となり、これは内包的微分計算とどのように関係するか？
• RQ3 $ \tilde{g}_\Gamma = k \oplus g_\Gamma $ 上の braided Lie代数構造が、$ U(g_\Gamma) $ に bialgebra 構造を可能にする役割は何か？
• RQ4 co-quasitriangular Hopf代数に対する量子 Lie関手は、古典的 Lie関手とどのように異なり、非自明な出力をもたらすか？
• RQ5 一般化された Lie代数 $ \mathfrak{sl}_q(n) $ の構造は何か？ また、その削減包あらゆる代数は $ n=2 $ 時の Witten代数とどのように関係するか？

主な発見

• $ \tilde{g}_\Gamma = k \oplus g_\Gamma $ は、$ A $-comodule 圏における braided Lie代数であり、bialgebra 構造の基礎的構造を提供する。
• 内包的微分計算の下では、$ U(g_\Gamma) $ は、$ g_\Gamma $ と同じ次元をもつ $ \tilde{g}_\Gamma $ の braided Lie部分代数 $ L \subset \tilde{g}_\Gamma $ の braided 普遍包あらゆる代数 $ B(L) $ と同型であり、quadratic bialgebra である。
• 標準的量子群 $ O_q(G) $ の場合、$ U(g_\Gamma) $ は braided 行列代数 $ B(R) $ と同型であり、したがって braided 圏における bialgebra 構造を引き継ぐ。
• $ \mathfrak{sl}_q(n) $ の削減包あらゆる代数 $ B_{\text{red}}(\mathfrak{sl}_q(n)) $ は、$ B(\hat{\mathfrak{sl}}_q(n)) / \langle \text{tr} - \epsilon(\text{tr}) \lambda \rangle $ として定義され、$ n=2 $ 時に Witten代数と一致し、$ n>2 $ へ一般化される。
• 多くの場合、例えば $ O_q(G) $ や有限群の有限次元 bicovariant 計算では、$ U(g_\Gamma) $ に antipode が存在しない。これは、$ B(L) $ の braided 普遍包あらゆる代数に antipode が存在しないことによる。
• R行列の公式と明示的計算を用いて、$ U(g_\Gamma) $ の生成子の交換関係を導出する。これには Cartan 型関係とルートベクトルの交換関係が含まれ、$ n=2 $ 時に既知の結果に還元される。