[論文レビュー] Braided Subfactors, Spectral Measures, Planar algebras and Calabi-Yau algebras associated to SU(3) modular invariants

David Evans, Mathew Pugh|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 92被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、コンformal field theoryにおける$SU(3)$モジュラー不変量と、braided subfactors、planar algebras、およびほぼCalabi-Yau代数を結びつける枠組みを確立する。$SU(3)$ $\mathcal{ADE}$グラフに関連する代数$A$に対して非退化な双線形形式を構成し、Nakayama自己同型がグラフの置換$\nu$に等しいことを証明し、$A$が次元3のほぼCalabi-Yau代数であることを示す5項の分解を導出。これにより、Hochschildおよび循環ホモロジーを用いて部分因子に対する不変量が得られる。

ABSTRACT

Braided subfactors of von Neumann algebras provide a framework for studying two dimensional conformal field theories and their modular invariants. We review this in the context of SU(3) conformal field theories through corresponding SU(3) braided subfactors and various subfactor invariants including spectral measures for the nimrep graphs, A_2-planar algebras and almost Calabi-Yau algebras.

研究の動機と目的

• Rational conformal field theoryにおける$SU(3)$モジュラー不変量の構造を、部分因子理論を用いて理解すること。
• braided subfactorsを、nimrepグラフのスペクトル測度とplanar algebrasと結びつけること。
• $SU(3)$ $\mathcal{ADE}$グラフ$\mathcal{G}$上のセル系$W$から、ほぼCalabi-Yau代数$A(\mathcal{G}, W)$を構成すること。
• $A$を$A$-$A$双加群としての射影的分解を導出し、Hochschildおよび循環ホモロジーを計算すること。
• これらのホモロジー的不変量が、グラフとセル系によって定まる部分因子$N \subset M$に内在的であることを示すこと。

提案手法

• 頂点次数の生成子に対して$f(u_{j\nu(j)}) = 1$、それ以外は0となるように、代数$A$上の非退化な双線形形式$f$を定義する。
• 双対性$(x,y) = (y, \beta(x))$を用いてNakayama自己同型$\beta$を定義し、セル系に由来する置換行列$P$から得られるグラフ置換$\nu$を用いて$\beta = \nu$を証明する。
• 辺と細胞に関する組合せ的和を用いて、$R$および$V$を基にしたテンソル積を用いて、$A$の$A$-$A$双加群としての5項分解を導出。写像$\mu_0$から$\mu_4$は、辺と細胞に関する和として定義される。
• この分解を用いて、$A$が次元3のほぼCalabi-Yau代数であることを示し、$SU(3)$の有限部分群$\Gamma \subset SU(3)$から得られるCalabi-Yau代数と類似していることを示す。
• $A(\mathcal{G}, W)$を、nimrep構成を通じて部分因子$N \subset M$と関連づけ、グラフ$\mathcal{G}$が結合グラフとして現れることを保証する。
• Hochschild（co）ホモロジーおよび循環ホモロジーが、セル系の選択に依存しない部分因子$N \subset M$の不変量であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 braided subfactorsを用いて、コンformal field theoryにおける$SU(3)$モジュラー不変量を分類・構成する方法は何か？
• RQ2 スペクトル測度とplanar algebrasは、$SU(3)$モジュラー不変量のnimrepグラフを実現するために果たす役割は何か？
• RQ3 $SU(3)$ $\mathcal{ADE}$グラフとセル系$W$に関連する代数$A(\mathcal{G}, W)$は、Calabi-Yau構造とどのように関係するか？
• RQ4 Hochschildおよび循環ホモロジーの構造は何か？それらは部分因子の不変量をどのように反映するか？
• RQ5 $A$を$A$-$A$双加群としての分解を用いて、$SU(3)$関連代数に対してCalabi-Yau型の条件を定義できるか？

主な発見

• セル系に由来する置換行列$P$によって定まるグラフ頂点の置換$\nu$と一致する、代数$A(\mathcal{G}, W)$のNakayama自己同型$\beta$が成立する。
• 代数$A(\mathcal{G}, W)$は、辺と細胞に関する和で定義される写像$\mu_0$から$\mu_4$を用いた$A$-$A$双加群としての5項分解を有し、これはほぼCalabi-Yau代数としての構造を裏付ける。
• 分解(33)は、次元3のCalabi-Yau分解に類似しているが、最初の項が$A\otimes_R A$ではなく${}_{1}A_{\beta^{-1}}$である点を除き一致する。これはほぼCalabi-Yau構造を示唆する。
• 代数$A(\mathcal{G}, W)$のHochschild（co）ホモロジーおよび循環ホモロジーは、部分因子$N \subset M$の不変量である。これは、グラフ$\mathcal{G}$とセル系$W$にのみ依存するためである。
• 部分因子$N \subset M$から$A(\mathcal{G}, W)$を構成することで、得られる代数は、そのホモロジー的不変量を通じて、モジュラー不変量の位相的および代数的データを捉えている。
• 本研究は、部分因子理論、コンformal field theory、非可換代数的幾何学を結びつける橋渡しを果たし、$A(\mathcal{G}, W)$が次元3のほぼCalabi-Yau代数であることを示した。これは、$SU(2)$および$SU(3)$の有限部分群に関する既知の結果を拡張するものである。