[論文レビュー] Braided Supersymmetry and (CO-)HOMOLOGY

Bernhard Drabant|ArXiv.org|Sep 23, 1994

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、関手的同型 Q を用いてバングルモノイダル圏におけるブレード付き Q-超対称性を導入し、クェーシトライアングルホップ代数 (H,R) に対して、ブレード付き Q-超ホップ代数 B のクロス積 B×H が通常の Q-超ホップ代数構造を引き継ぐことを示している。量子カオスル複体 (K(q,g),d) の Q-ボソン化を適用することで、微分作用素を含む H-モジュール準同型としての構造写像を持つ古典的超ホップ代数が得られ、量子的および古典的超代数的構造が統合される。

ABSTRACT

Within the framework of braided or quasisymmetric monoidal categories braided Q-supersymmetry is investigated, where Q is a certain functorial isomorphism in a braided symmetric monoidal category. For an ordinary (co-)quasitriangular Hopf algebra (H,R) a braided monoidal category of H-(co-)modules with braiding induced by the R-matrix is considered. It can be shown for a specific class of Q-supersymmetries in this category that every braided Q-super-Hopf algebra B admits an ordinary Q-super-Hopf algebra structure on the cross product BxH such that H is a sub-Hopf algebra and B is a subalgebra in BxH. Applying this Q-bosonization to the quantum Koszul complex (K(q,g),d) of the quantum enveloping algebra Uq(g) for Lie algebras g associated with the root systems A, B, C and D one obtains a classical super-Hopf algebra structure on (K(q,g),d) where the structure maps are morphisms of modules with differentiation.

研究の動機と目的

• 関手的同型 Q を用いて、ブレード付きまたは準対称モノイダル圏の文脈における超対称性を一般化すること。
• クェーシトライアングルホップ代数 (H,R) の H-(余)モジュール上のブレード付き Q-超ホップ代数が、クロス積構成を用いて通常の Q-超ホップ代数に持ち上げられることを確立するフレームワークを構築すること。
• 根系 A, B, C, D を持つ量子包あらわし代数 Uq(g) の量子カオスル複体 (K(q,g),d) にこの構成を適用すること。
• 結果として得られる (K(q,g),d) 上の構造が、微分を含む H-モジュール準同型としての構造写像を持つ古典的超ホップ代数であることを示すこと。
• ブレード付き Q-超対称性と Q-ボソン化を通じて、量子群の構造と古典的超代数的性質を統合すること。

提案手法

• H-(余)モジュールの圏における関手的同型 Q を用いて、ブレード付きまたは準対称モノイダル圏における Q-超対称性を定義する。
• クェーシトライアングルホップ代数 (H,R) の R-行列を用いて、H-(余)モジュールの圏におけるブレードを誘導する。
• ブレード付き Q-超ホップ代数 B に対してクロス積代数 B×H を構成し、それが通常の Q-超ホップ代数構造を引き継ぐことを示す。
• Uq(g) の量子カオスル複体 (K(q,g),d) に Q-ボソン化手続きを適用し、そのブレード構造を古典的超ホップ代数に変換する。
• 得られた代数における余乗法、乗法、反数写像が、微分を含む H-モジュール準同型であることを検証する。
• ホップ代数構造と (余)コホモロジーの枠組みを用いて、量子群の対称性および超代数的関係と整合性を持つことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関手的同型 Q を用いて、ブレード付きモノイダル圏における超対称性をどのように一般化できるか？
• RQ2 クェーシトライアングルホップ代数 (H,R) 上のブレード付き Q-超ホップ代数 B が、クロス積構成 B×H を用いて通常の Q-超ホップ代数に持ち上げられるか？
• RQ3 Uq(g) の量子カオスル複体 (K(q,g),d) の Q-ボソン化は、H-モジュール構造写像を備えた古典的超ホップ代数を生じるか？
• RQ4 R-行列は、H-(余)モジュールにおける Q-超対称性を可能にするブレードを定義するために果たす役割は何か？
• RQ5 得られた代数の構造写像は、H-モジュール準同型の文脈で微分とどのように関係するか？

主な発見

• クェーシトライアングルホップ代数 (H,R) とブレード付き Q-超ホップ代数 B のクロス積 B×H は、通常の Q-超ホップ代数構造を備える。
• B×H 上の結果となる代数的構造により、H が部分ホップ代数であり、B が部分代数であることが保証され、ブレード付き Q-超対称性が維持される。
• 根系 A, B, C, D を持つ Uq(g) に対して、量子カオスル複体 (K(q,g),d) は Q-ボソン化によって古典的超ホップ代数構造を獲得する。
• 得られた代数における余乗法、乗法、反数写像は、微分を含む H-モジュール準同型である。
• 関手的同型と R-行列によって誘導されるブレードを用いた枠組みにより、ブレード付き量子群と古典的超代数の間の橋渡しがなされる。
• この方法により、ブレード付き Q-超対称性を標準的超ホップ代数に持ち上げる体系的な手法が得られ、量子コホモロジーおよび (余)コホモロジー理論への応用が可能になる。