[論文レビュー] Braids and branched coverings of dimension three

J. Scott Carter, Seiichi Kamada|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、3次元の分岐被覆と3次元のバーティカルブレードを記述するため、S³における2次元の図式を導入し、古典的なバーティカルブレードおよび被覆空間理論を一般化する。同定されたのは、S³内のリンクの向き付けられたセイフェルト面が、モノドロミー表現を介して単純な埋め込み3次元バーティカルブレードおよび分岐被覆を構成する2次元バーティカルブレード図式として用いられることであり、特にクエンドル準同型写像とバーティカルブレード群における上昇の間の関係が重要な結果として得られている。

ABSTRACT

We study simple branched coverings of degree d of the 2- and 3- dimensional sphere branched over oriented links. We demonstrate how to use braid charts to develop embeddings of these into $S^k imes D^2$ for $k=2,3 when $d=2,3$. This is an initial part of our study and represents the manuscript submitted to the RIMS workshop at Intelligence of Low Dimensional Topology.

研究の動機と目的

• 古典的なバーティカルブレードおよび被覆空間理論を、3次元多様体に特化して高次元に一般化すること。
• S³内の2次元部分複体を用いて、3次元の分岐被覆とバーティカルブレードを記述する図式理論的枠組みを構築すること。
• リンクの向き付けられたセイフェルト面とモノドロミー情報を符号化する2次元バーティカルブレード図式との間の対応関係を確立すること。
• リンクのクエンドルからバーティカルブレード群の元への準同型写像の上昇の存在および特徴づけを調査すること。
• 図式と交差語を用いて、ハーツィッツ系とモノドロミーの理論を3次元的状況へと拡張すること。

提案手法

• S³内の2次元の置換およびバーティカルブレード図式を用い、面が{1,…,d−1}内の整数でラベル付けされ、辺の周囲で局所的な組合せ的条件を満たす。
• 図式に沿った交差語を用いて、分岐被覆に対してはπ₁(S³∖L, ∗) → S_d、バーティカルブレードに対してはπ₁(S³∖L, ∗) → B_d というモノドロミー表現を構成する。
• 3次元バーティカルブレードを表面の運動写真としてモデル化する、向き付けられ、ラベル付けされたS³内の2次元複体として2次元バーティカルブレード図式を定義する。
• リーマン＝フルーリオツの公式と基本群の解析を用いて、モノドロミー情報と位相的構造の整合性を保証する。
• クエンドル理論を用いて、f: Q(S³, L) → T_d から A_d への上昇の特徴づけを行う。ここで T_d は互換の集合、A_d はバーティカルブレード群生成元の共轭類である。
• ハーツィッツおよびルーロートの古典的な2次元図式構成を、セイフェルト面とそのラベル付けられ、向き付けられた分解を用いて3次元に一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 S³における2次元図式は、どのように3次元の分岐被覆とバーティカルブレードを記述するか？
• RQ2 S³内のリンクのセイフェルト面が、整合的な2次元バーティカルブレード図式を誘導するための条件は何か？
• RQ3 クエンドル準同型写像 f: Q(S³, L) → T_d が、バーティカルブレード群の共轭類集合 A_d への準同型写像に上昇する条件は何か？
• RQ4 ハーツィッツ移動と共轭は、3次元バーティカルブレードモノドロミー系の同値性とどのように関係するか？
• RQ5 2次元バーティカルブレード図式におけるノード曲線の位相的意味は何か、埋め込み3次元バーティカルブレードに対して？

主な発見

• S³における次数dの2次元バーティカルブレード図式は、交差語を介してモノドロミー π₁(S³∖L, ∗) → B_d を誘導し、単純な埋め込み3次元バーティカルブレードを記述する。
• S³内のリンクLの向き付けられたセイフェルト面Fは、2次元B_d-図式と解釈でき、3次元バーティカルブレード g_F: M³ → D²×S³ ⊂ R⁵ を得る。
• 非向き付けられたセイフェルト面Fは、モノドロミー π₁(S³∖L, ∗) → S_d を誘導し、分岐集合がLである単純な2重分岐被覆 f_F: M³ → S³ を記述する。
• 3の三重巻きひねり結び目に対して、3色分けはモノドロミー ρ: π₁(S³∖L) → S₃ を誘導し、ラベル付けされた面をもつ2次元B₃-図式によって実現される。
• クエンドル準同型写像 f: Q(S³, L) → T_d から A_d への上昇の存在は、整合的なバーティカルブレード群上昇の存在によって特徴づけられ、古典的なモノドロミー理論を一般化する。
• 本稿では、2次元図式が3次元バーティカルブレードおよび分岐被覆を構成するための組合せ的枠組みを提供することを確立し、セイフェルト面と運動写真を用いて、古典的な2次元図式理論を3次元に拡張した。