[論文レビュー] Braids, trees, and operads

Jack Morava|ArXiv.org|Sep 13, 2001

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、実射影直線上の点のコンパクト化配置空間から導かれる新しいクラスのオペラッドを導入し、それらがアスphericalであり、バターン群を一般化する基本群を持つことを示している。スターシェフのアソシアヘドロンによるタイル張りと、量子コホモロジーおよび Fukaya のラグランジュコホモロジーとの関連を用いて、これらのモジュライ空間 ${\overline{\mathcal{M}}}_{0,k}(\mathbb{R})$ が群の圏におけるオペラッドを備え、そのホモトピー商が一般化されたバターンに類似した構造を生じることを確立している。これは、古典的なオペラッド的および位相的構成を実代数幾何に拡張するものである。

ABSTRACT

The space of unordered configurations of distinct points in the plane is aspherical, with Artin's braid group as its fundamental group. Remarkably enough, the space of ordered configurations of distinct points on the real projective line, modulo projective equivalence, has a natural compactification (as a space of equivalence classes of trees) which is also (by a theorem of Davis, Januszkiewicz, and Scott) aspherical. The classical braid groups are ubiquitous in modern mathematics, with applications from the theory of operads to the study of the Galois group of the rationals. The fundamental groups of these new configuration spaces are not braid groups, but they have many similar formal properties.

研究の動機と目的

• 実射影直線上の $k$ 個の相異なる点の配置のモジュライ空間 ${\overline{\mathcal{M}}}_{0,k}(\mathbb{R})$ の位相的および代数的構造を調査すること。
• これらの空間がアスphericalであることを示し、複素数の場合における無順配置空間の古典的アスpherical性を一般化すること。
• ${\overline{\mathcal{M}}}_{0,k}(\mathbb{R})$ の基本群の圏から群の圏におけるオペラッドを構成し、バターンオペラッドを実配置に拡張すること。
• Gromov-Witten 不変量および擬全純多角形を介して、この新しいオペラッドを量子コホモロジーおよび Fukaya のラグランジュ Floer コホモロジーと関連づけること。
• これらの実モジュライ空間の基本群とガロア群、Calogero-Moser システム、および Grothendieck-Teichmüller 群との関係を調査すること。

提案手法

• Davis-Januszkiewicz-Scott の定理を用いて、${\overline{\mathcal{M}}}_{0,k}(\mathbb{R})$ が局所的に負の曲率を持つ計量を備え、$K(\pi,1)$ 空間であることを示す。
• ${\overline{\mathcal{M}}}_{0,k}(\mathbb{R})$ への全射写像 $\Sigma_k \times_{D_k} K_{k-3} \to {\overline{\mathcal{M}}}_{0,k}(\mathbb{R})$ を構成し、空間がスターシェフのアソシアヘドロンによってタイル張りされていることを示す。
• 配置空間 $\mathrm{Config}^n(\mathbb{R}P^1)$ の基本群の圏を分析し、商 $[\Sigma_n / \mathrm{Br}_n]$ を通じてバターン群と関連づける。
• 実空間と複素空間の間の可換図式を確立し、実のモザイクオペラッドを $A_\infty$ オペラッドおよび小さなディスクオペラッドと関連づける。
• Poincaré双対性および Gromov-Witten 理論を用いて、$H_*({\overline{\mathcal{M}}}_{0,k+1}(\mathbb{R})) \to \mathrm{End}_k(H_*(L,\Lambda))$ という準同型を定義し、Floer コホモロジーへの作用を示す。
• 「バブルツリー」コンパクト化の概念を導入し、双曲多角形を用いた木のような退化により点の衝突をモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ${\overline{\mathcal{M}}}_{0,k}(\mathbb{R})$ の基本群は、Fukaya のラグランジュ Floer コホモロジーに自然に作用するか？
• RQ2 $\mathbf{D}$ というオペラッド上の普遍代数として定義される圏は、Markl が提唱するトレース付き循環オペラッドの観点から解釈可能か？
• RQ3 ${\overline{\mathcal{M}}}_{0,k}(\mathbb{R})$ の基本群は、実直線上の Calogero-Moser システムの解に対するガロア群と同型か？
• RQ4 ${\overline{\mathcal{M}}}_{0,*}(\mathbb{R})$ によって定義される群の圏におけるオペラッドの自己同型は、Grothendieck-Teichmüller 群と類似した性質を持つか？
• RQ5 第1ホモロジー群 $H_1({\overline{\mathcal{M}}}_{0,k+1}(\mathbb{R}))$ のランクは $\binom{n}{3}$ に等しいか？

主な発見

• ${\overline{\mathcal{M}}}_{0,k}(\mathbb{R})$ はアスphericalであり、基本群 $\pi_1({\overline{\mathcal{M}}}_{0,k}(\mathbb{R}))$ はバターン群を一般化する群の圏を形成する。
• ${\overline{\mathcal{M}}}_{0,k}(\mathbb{R})$ はスターシェフのアソシアヘドロンによってタイル張りされており、codimension $n$ の面において $2^n$ 対 1 の写像 $\Sigma_k \times_{D_k} K_{k-3} \to {\overline{\mathcal{M}}}_{0,k}(\mathbb{R})$ が存在する。
• 実配置空間の基本群の圏は $[\Sigma_n / \mathrm{Br}_n]$ に同型であり、これはバターン圏を普遍的な braided monoidal 圈として一般化する。
• オペラッド $\{{\overline{\mathcal{M}}}_{0,k}(\mathbb{R})\}$ は準同型 $H_*({\overline{\mathcal{M}}}_{0,k+1}(\mathbb{R})) \to \mathrm{End}_k(H_*(L,\Lambda))$ を通じて、ラグランジュ部分多様体のホモロジーに作用し、量子コホモロジー構造を実の場合に拡張する。
• 実モジュライ空間 ${\overline{\mathcal{M}}}_{0,5}(\mathbb{R})$ は、トーラス上で3つの三重一致点を blown up することにより得られる12個の五角形面を持つ多面体に類似した形状である。
• 複素モジュライ空間 ${\overline{\mathcal{M}}}_{0,4}(\mathbb{C})$ は交比を用いて $\mathbb{C}P^1$ に同型であり、${\overline{\mathcal{M}}}_{0,3}(\mathbb{C})$ は一点に同型であり、3点配置の剛性を反映している。