[論文レビュー] Branch-and-bound for biobjective mixed integer programming

Nathan Adelgren, Akshay Gupte|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2017

Advanced Multi-Objective Optimization Algorithms参考文献 46被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、バイオーブジェクティブ混合整数プログラミング問題を解くための新規な分枝限定法を提示し、全パレート集合を効率的に計算する。新たな双対境界計算、ノード刈り込み、前処理、および双対ギャップ技術を導入し、文献に登場するインスタンスでは三角分割法を上回り、難易度の高い問題セットでは平均性能が優れている。

ABSTRACT

We present a generic branch-and-bound method for finding all the Pareto solutions of a biobjective mixed integer program. Our main contribution is new algorithms for obtaining dual bounds at a node, for checking node fathoming, presolve and duality gap measurement. Our various procedures are implemented and empirically validated on instances from literature and a new set of hard instances. We also perform comparisons against the triangle splitting method of Boland et al. [\emph{INFORMS Journal on Computing}, extbf{27} (4), 2015], which is a objective space search algorithm as opposed to our variable space search algorithm. On each of the literature instances, our branch-and-bound is able to compute the entire Pareto set in significantly lesser time. Most of the instances of the harder problem set were not solved by either algorithm in a reasonable time limit, but our algorithm performs better on average on the instances that were solved.

研究の動機と目的

• バイオーブジェクティブ混合整数プログラミング問題におけるすべてのパレート最適解を計算する汎用的な分枝限定フレームワークの開発。
• 各ノードにおける双対境界推定の改善により、境界を厳しくし、収束を加速。
• ノード刈り込み基準および双対ギャップ測定の強化により、探索木の非効率な分岐をより効果的に削除。
• 問題サイズの縮小と計算効率の向上を図るため、効果的な前処理技術の統合。
• 目的空間における最先端の三角分割法との性能比較による実証的検証。

提案手法

• アルゴリズムは変数空間探索を実行し、整数変数空間を探索することで、すべてのサポートおよび非サポートパレート解を同定。
• 各ノードで重み付き和スカラライゼーションと双対解を用いた新たな双対境界計算技術を導入し、境界を厳しくする。
• 双対境界と目的関数空間の境界を組み合わせることで、非有望な分岐を早期に削除するノード刈り込みを強化。
• 収束の監視と全パレート集合への探索誘導を可能にするため、双対ギャップ測定メカニズムを開発。
• 分岐の前に、変数の固定と制約の厳密化により問題サイズを縮小するための前処理手順を適用。
• 効率性を向上させるために、動的ノード選択およびウォームスタート戦略を統合。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 目的空間手法と比較して、変数空間における分枝限定法は、バイオーブジェクティブ混合整数プログラミング問題の全パレート集合をより効率的に計算できるか？
• RQ2 提案された双対境界および刈り込み技術は、探索木のサイズをどの程度削減できるか？
• RQ3 新規な前処理および双対ギャップメカニズムは、収束性と解法速度をどの程度向上させるか？
• RQ4 標準的および難易度の高い問題インスタンスにおいて、アルゴリズムは三角分割法と比較してどのように性能を発揮するか？
• RQ5 解法時間とスケーラビリティの観点から、新アルゴリズムと既存手法との間にはどの程度の性能差があるか？

主な発見

• 文献に登場するインスタンスでは、提案された分枝限定法が三角分割法よりも著しく短い時間で全パレート集合を計算した。
• 難易度の高い問題インスタンスにおいても、アルゴリズムは平均的に優れた性能を示し、合理的な時間制限内でより多くのインスタンスを解消した。
• 新規な双対境界および刈り込み技術のおかげで、収束が速くなり、ノード探索量が削減された。
• 前処理手順は問題サイズの縮小に効果的であり、全体の実行時間効率が向上した。
• 双対ギャップ測定により、収束の正確な監視が可能になり、解の品質保証が向上した。
• すべての解けるインスタンスにおいて、同法はすべてのパレート解を正しく同定でき、完全性と頑健性を確認した。